30-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров. Румыния, 2026 год

Задача №1.  Пусть $a$, $b$, $c$ — положительные действительные числа, такие что $a^2+b^2+c^2\ge 3.$ Докажите, что $$\frac{a^4}{a^2+2b+2c}+\frac{b^4}{b^2+2c+2a}+\frac{c^4}{c^2+2a+2b}\ge \frac35.$$
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  Найдите все пары положительных целых чисел $(a,b)$, для которых число $a+1$ делит число $b+2$, а число $b$ делит число $2a^2$. ( Ануарбеков Т. )
комментарий/решение(5)

---

Задача №3. Пусть $n\ge 3$ — целое число. Имеются $n$ цветных лампочек, расположенных по кругу. Одно нажатие на кнопку лампочки изменяет её цвет следующим образом: $$ \text{зелёный}\rightarrow\text{красный},\qquad \text{красный}\rightarrow\text{синий},\qquad \text{синий}\rightarrow\text{зелёный}. $$ Изначально все лампочки окрашены в красный цвет. Аладдин выполняет ходы над этими лампочками. Каждый ход состоит из следующих трёх действий:
   $\bullet$ он выбирает лампочку $L$, не нажимая на её кнопку;
   $\bullet$ он один раз нажимает кнопку лампочки, расположенной по часовой стрелке от $L$;
   $\bullet$ он дважды нажимает кнопку лампочки, расположенной против часовой стрелки от $L$. Для каждого $n$ определите максимально возможное число лампочек, которые могут одновременно быть зелёными после конечного числа ходов.
комментарий/решение(1)

---

Задача №4. Пусть $ABC$ — треугольник, в котором $AB\neq AC$, а $I$ — центр его вписанной окружности. Пусть точки $P$ и $Q$ расположены внутри треугольника $ABC$ так, что $$BP=PC > BQ=QC.$$ Прямые $BP$ и $CQ$ пересекаются в точке $X$. Предположим, что прямая $AI$ касается описанной окружности треугольника $IPQ$. Докажите, что описанные окружности треугольников $ABQ$, $ACP$ и $PQX$ имеют общую точку.
комментарий/решение(2)

---