А. Баев


Задача №1.  Дан неравнобедренный треугольник $ABC$. $A_1$, $B_1$, $C_1$ — точки касания вписанной окружности со сторонами $BC$, $AC$, $AB$. $Q$ и $L$ — точки пересечения отрезка $AA_1$ со вписанной окружностью и отрезком $B_1C_1$ соответственно. $M$ — середина отрезка $B_1C_1$. $T$ – точка пересечения прямых $BC$ и $B_1C_1.$ $P$ — основание перпендикуляра из точки $L$ на прямую $AT$. Докажите, что точки $A_1$, $M$, $ Q$, $P$ лежат на одной окружности. ( А. Баев )
комментарий/решение олимпиада
Задача №2.  Дан неравнобедренный треугольник $ABC$. $A_1$, $B_1$, $C_1$ — точки касания вписанной окружности со сторонами $BC$, $AC$, $AB$. $Q$ и $L$ — точки пересечения отрезка $AA_1$ со вписанной окружностью и отрезком $B_1C_1$ соответственно. $M$ — середина отрезка $B_1C_1$. $T$ — точка пересечения прямых $BC$ и $B_1C_1.$ $P$ — основание перпендикуляра из точки $L$ на прямую $AT$. Докажите, что точки $A_1$, $M$, $Q$, $P$ лежат на одной окружности. ( А. Баев )
комментарий/решение олимпиада
Задача №3.  Пусть $ABC$ — остроугольный треугольник, в котором $AB > BC$ и $AC > BC$. Обозначим через $O$ и $H$ центр описанной окружности и ортоцентр треугольника $ABC$, соответственно. Предположим, что описанная окружность треугольника $AHC$ пересекает прямую $AB$ в точке $M$, отличной от $A$, а описанная окружность треугольника $AHB$ пересекает прямую $AC$ в точке $N$, также отличной от $A$. Докажите, что центр описанной окружности треугольника $MNH$ лежит на прямой $OH$. ( А. Баев )
комментарий/решение олимпиада