1. Олимпиадалар тізімі
  2. Математика олимпиадалары
  3. Дистанциялық олимпиадалар
  4. Геометриядан Иран олимпиадасы
  5. 7-я олимпиада, 2020 год
  6. Вторая лига, 9-10 классы

7-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2020 год, вторая лига, 9-10 классы


Есеп №1. Табандары $AB$ және $CD$ болатын $ABCD$ трапециясы берілген. $M$ нүктесі — $AB$ кесіндісінің ортасы. $CD$ кесіндісінде $\angle ADN=\displaystyle\frac{1}{2}\angle MNC$ және $\angle BCN=\displaystyle\frac{1}{2}\angle MND$ болатындай $N$ нүктесі алынған. $NC=ND$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(6)
Есеп №2. $O$ нүктесі — теңбүйірлі $ABC$ ($AB=AC$) үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер центрі. $N$ нүктесі — $BC$ қабырғасының ортасы, ал $M$ нүктесі $N$ нүктесіне $AC$ түзуіне қарағандағы симметриялы нүкте. $T$ нүктесі $ANBT$ — тіктөртбұрыш болатындай нүкте. $\angle OMT = \displaystyle\frac{1}{2} \angle BAC $ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
Есеп №3. Сүйірбұрышты $ABC$ ($AC > AB$) үшбұрышының биіктіктері $H$ нүктесінде қиылысады, ал $M$ — $BC$ қабырғасының ортасы . $AM$ медианасы $\triangle ABC$-ға сырттай сызылған шеңберді екінші рет $X$ нүктесінде қияды. $CH$ түзуі $BC$ кесіндісінің орта перпендикулярын $E$, ал $\triangle ABC$-ға сырттай сызылған шеңберді екінші рет $F$ нүктесінде қияды. $J$ нүктесі $X$, $E$ және $F$ нүктелері арқылы өтетін $\omega$ шеңберінің бойында $BCHJ$ төртбұрышы трапеция ($CB\parallel HJ$) болатындай орналасқан. $JB$ және $EM$ түзулері $\omega$-ның бойында қиылысатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение
Есеп №4. $ABC$ үшбұрышы берілген. Центрі $J$ болатын қандай да бір шеңбер $B$ және $C$ нүктелері арқылы өтіп, $AC$ және $AB$ қабырғаларын сәйкесінше $E$ және $F$ нүктелерінде қияды. $X$ және $C$ нүктелері $AB$ түзуіне қарағанда бір жақта жатыр және $FXB$ үшбұрышы $EJC$ үшбұрышына ұқсас (сәйкес төбелер берілген ретке сәйкес келеді). Дәл сол сияқты $Y$ және $B$ нүктелері $AC$ түзуіне қарағанда бір жақта жатыр және $EYC$ үшбұрышы $FJB$ үшбұрышына ұқсас (сәйкес төбелер берілген ретке сәйкес келеді). $XY$ түзуінің $\triangle ABC$-ның биіктіктер қиылысу нүктесі арқылы өтетінін дәлелдеңіз.
комментарий/решение
Есеп №5. Келесі шарттар орындалатындай барлық $n \geq 4$ натурал сандарын табыңыз: $n$ жағы бар және сол жақтардың әрқайсысы — тікбұрышты үшбұрыш болатындай дөңес көпжақ табылады.
    (Дөңес көпжақтың көрші жақтарының арасында бұрыш $180^\circ$-тан кіші екенін еске саламыз.)
комментарий/решение