7-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2020 год, вторая лига, 9-10 классы

Задача №1. Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AB$ и $CD$. Точка $M$ --- середина отрезка $AB$. Точка $N$ на отрезке $CD$ такова, что $\angle ADN = \displaystyle\frac{1}{2} \angle MNC$ и $\angle BCN = \displaystyle\frac{1}{2} \angle MND$. Докажите, что $N$ --- середина отрезка $CD$.
комментарий/решение(6)

Задача №2. Дан равнобедренный треугольник $ABC$ ($AB=AC$), $O$ --- центр его описанной окружности. Точка $N$ --- середина отрезка $BC$, точка $M$ симметрична $N$ относительно стороны $AC$. Точка $T$ такова, что четырёхугольник $ANBT$ является прямоугольником. Докажите, что $\angle OMT = \displaystyle\frac{1}{2} \angle BAC$.
комментарий/решение(1)

Задача №3. В остроугольном треугольнике $ABC$ ($AC > AB$) точка $H$ --- ортоцентр, $M$ --- середина отрезка $BC$. Медиана $AM$ вторично пересекает описанную окружность треугольника $ABC$ в точке $X$. Прямая $CH$ пересекает серединный перпендикуляр к отрезку $BC$ в точке $E$, и вторично пересекает описанную окружность треугольника $ABC$ в точке $F$. Окружность $\omega$ проходит через точки $X$, $E$ и $F$, точка $J$ на $\omega$ такова, что четырёхугольник $BCHJ$ --- трапеция ($CB\parallel HJ$). Докажите, что прямые $JB$ и $EM$ пересекаются на $\omega$.
комментарий/решение

Задача №4. Дан треугольник $ABC$. Произвольная окружность с центром в точке $J$, проходящая через точки $B$ и $C$, пересекает стороны $AC$ и $AB$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Точка $X$ такова, что треугольники $FXB$ и $EJC$ подобны (вершины соответствуют друг другу в указанном порядке), а точки $X$ и $C$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $AB$. Аналогично точка $Y$ такова, что треугольники $EYC$ и $FJB$ подобны (вершины соответствуют друг другу в указанном порядке), а точки $Y$ и $B$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $AC$. Докажите, что прямая $XY$ проходит через ортоцентр треугольника $ABC$.
комментарий/решение

Задача №5. Найдите все натуральные $n \geq 4$, для которых существует выпуклый многогранник с $n$ гранями такой, что все его грани являются прямоугольными треугольниками.
(Обратите внимание, что угол между любой парой смежных граней выпуклого многогранника меньше $180^\circ$.)
комментарий/решение