7-ші халықаралық Жәутіков олимпиадасы, 2011 жыл

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1. $ABCD$ трапециясының $AD$ және $BC$ табандарының орталарын сәйкесінше $M$ және $N$ деп белгілейік.
а) Егер трапецияның бүйір қабырғаларына тұрғызылған орта перпендикулярлар $MN$ кесіндісінің үстінде қиылысса, трапецияның теңбүйірлі екенін дәлелдеңдер.
ә) Егер трапецияның бүйір қабырғаларына тұрғызылған орта перпендикулярлар $MN$ түзуінің үстінде қиылысса, а) пунктінің тұжырымы күшінде қала ма?
комментарий/решение(2)

---

Есеп №2. Кез келген $x,y \in \mathbb{R}$ үшін $f(x + f(y)) = f(x - f(y)) + 4xf(y)$ теңдігін қанағаттандыратын барлық $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ функцияларын табыңдар (Мұнда $\mathbb{R}$ — нақты сандар жиынын белгілейді).
комментарий/решение(2)

---

Есеп №3. $\mathbb{N}$ арқылы натурал сандар жиынын белгілейік. Егер кез келген $n\in \mathbb{N}$ үшін $a^k+b$ саны $2^n$-не бөлінетіндей $k \in \mathbb{N}$ табылса, онда $a,b \in \mathbb{N}$ сандарының реттелген $(a;b)$ парын қызық дейміз. Сандардың барлық қызық парларын табыңдар.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №4. Төменгі шарттарды бір мезгілде қанағаттандыратын жиындардың ең көп санын табыңдар:
i) әрбір жиын 4 элементтен тұрады;
ii) кез келген әртүрлі екі жиынның дәл 2 ортақ элементі бар;
iii) барлық жиындарға тиісті екі элемент табылмайды.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №5. Бүтін $n$ саны берілген, $n > 1$. Егер $ab-b$ саны $n^2$-қа бөлінетіндей $M = \{1, 2, \ldots, n^2-1\}$ жиынының $b$ элементі табылса, $M$ жиынының $a$ элементі жақсы деп аталады. Ал, егер $a^2-a$ саны $n^2$-қа бөлінсе, $a$ элементі өте жақсы деп аталады. $M$ жиынының жақсы элементтерінің санын $g$ деп, ал осы жиынның өте жақсы элементтерінің санын $v$ деп белгілейік. Дәлелдеңдер: $v^2+ v \le g \le n^2- n$.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №6. Шеңберге іштей сызылған $ABCD$ төртбұрышының диагоналдары $K$ нүктесінде қиылысады; $AC$ және $BD$ диагоналдарының орталарын сәйкесінше $M$ және $N$ деп белгілейік. $ADM$ және $BCM$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер $M$ және $L$ нүктелерінде қиылысады. $K$, $L$, $M$ және $N$ нүктелерінің бір шеңбердің бойында жататынын дәлелдеңдер (бұл нүктелердің бәрі әртүрлі деп есептеңдер).
комментарий/решение(5)

---