7-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2011 год

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. В трапеции $ABCD$ точки $M$ и $N$ — середины оснований $AD$ и $BC$ соответственно.
а) Докажите, что трапеция равнобедренная, если известно, что точка пересечения серединных перпендикуляров к боковым сторонам лежит на отрезке $MN$.
б) Остается ли утверждение пункта а) в силе, если известно лишь, что точка пересечения серединных перпендикуляров к боковым сторонам лежит на прямой $MN$?
комментарий/решение(2)

---

Задача №2.  Найдите все функции $f: \Bbb R \to \Bbb R $ такие, что для любых $x, y\in \Bbb R $ выполнено равенство $f(x+f(y))=f(x-f(y))+4xf(y).$ (Здесь $ \Bbb R $ обозначает множество действительных чисел.)
комментарий/решение(2)

---

Задача №3.  Обозначим через $ \Bbb N $ множество всех целых положительных чисел. Упорядоченную пару $(a; b)$ чисел $a, b\in \Bbb N $ назовем интересной , если для любого $n\in \Bbb N $ существует $k\in \Bbb N $ такое, что число $a^k+b$ делится на $2^n$. Найдите все интересные упорядоченные пары чисел.
комментарий/решение(1)

---

Задача №4.  Найдите наибольшее возможное число множеств, удовлетворяющих одновременно следующим условиям:
i) каждое множество состоит из 4 элементов;
ii) любые два различных множества имеют ровно два общих элемента;
iii) никакие два элемента не принадлежат одновременно всем множествам.
комментарий/решение(1)

---

Задача №5.  Пусть $n$ — целое число, $n > 1$. Элемент $a$ из множества $M=\{1, 2, \dots, n^2-1\}$ назовем хорошим , если найдется элемент $b$ из $M$ такой, что число $ab-b$ делится на $n^2$. Далее, элемент $a$ назовем очень хорошим , если $a^2-a$ делится на $n^2$. Пусть $g$ и $v$ — число хороших и число очень хороших элементов в $M$ соответственно. Докажите, что $v^2+ v\leq g\leq n^2-n$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №6. Диагонали вписанного четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $K$, точки $M$ и $N$ — середины диагоналей $AC$ и $BD$ соответственно. Описанные окружности треугольников $ADM$ и $BCM$ пересекаются в точках $M$ и $L$. Докажите, что точки $K$, $L$, $M$ и $N$ лежат на одной окружности (все эти точки предполагаются различными).
комментарий/решение(5)

---