қазақша
русскийРайонная олимпиада, 2006-2007 учебный год, 10 класс
Задача №1. Пусть $a$, $b$ и $c$ действительные положительные числа, такие, что $abc=1$. Докажите, что $$
2\left( {a^2 + b^2 + c^2 } \right) + a + b + c \geq 6 + ab + bc + ac.
$$
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №2. Сколько существует натуральных чисел больших 10, каждое из которых равно сумме его цифр и их произведения (например, $29=2+9+2\cdot 9$)?
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №3. Внутри четырехугольника $ABCD$ взята точка $M$ так, что $ABMD$ — параллелограмм. Докажите, что если $\angle CBM= \angle CDM$, то $\angle ACD= \angle BCM$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Решите систему уравнений
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
x^{2006} + y^{2006} + z^{2006} = 2, \\
x^{2007} + y^{2007} + z^{2007} = 2,\\
x^{2008} + y^{2008} + z^{2008} = 2,\\
\end{array}
\right.
$$
где $x$, $y$, $z$ — действительные числа.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Сколько существует пар натуральных чисел $x$ и $y$, меньших тысячи, таких, что $x^2+y^2$ делится на 7?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. Дана последовательность целых чисел $a_1, a_2, \ldots ,a_{2007}$, для которой справедливо $a_1=1$, $a_2=3$ и при любых натуральных $2\leq n \leq 2006$ выполняется равенство $a_{n+1}=3a_n-2a_{n-1}$. Найдите $a_{2007}$.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №7. Владелец кодового дипломата забыл трехзначный набор цифр (000-999), с помощью которого открывается дипломат. Он помнит, что сумма цифр равна 15. Какое минимальное количество вариантов ему следует опробовать, что гарантированно открыть дипломат.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №8. В треугольнике $ABC$ выполняется равенство $\angle ABC=2 \angle ACB$. Докажите, что $AB+BC<2AC$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)