қазақша
русский16-я Международная Жаутыковская олимпиада по математике, 2020 год
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Натуральное число $n$ таково, что ни при каких натуральных $a$ и $b$
число $2^a3^b+1$ не делится на $n$. Докажите, что $2^c+3^d$ также не делится
на $n$ ни при каких натуральных $c$ и $d$.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. В множестве из 20 элементов выбраны $2k+1$ различных семиэлементных подмножеств,
каждое из которых пересекается ровно с $k$ другими выбранными подмножествами.
При каком наибольшем $k$ это возможно?
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Выпуклый шестиугольник $ABCDEF$ вписан в окружность. Докажите неравенство
$AC\cdot BD\cdot CE\cdot DF\cdot AE\cdot BF\geq 27 AB\cdot BC\cdot CD\cdot
DE\cdot EF\cdot FA.$
(
Н. Седракян
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №4. В неравнобедренном треугольнике $ABC$ точка $I$ — центр вписанной
окружности, а $CN$ — биссектриса. Прямая $CN$ вторично пересекает
описанную окружность треугольника $ABC$ в точке $M$. Прямая $\ell$
параллельна прямой $AB$ и касается вписанной окружности треугольника $ABC$.
Точка $R$ на прямой $\ell$ такова, что $CI \perp IR$. Описанная
окружность треугольника $MNR$ вторично пересекает прямую $IR$ в точке $S$.
Докажите, что $AS=BS$.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №5. Пусть $\mathbb{Z}$ — множество всех целых чисел. Найдите все функции
$f\colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$, удовлетворяющие условию
$f(4x+3y)=f(3x+y)+f(x+2y)$ при всех целых $x$ и $y$.
(
И. Воронович
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. На доске $n\times n$ ($n>2$) некоторые клетки чёрные, а остальные
белые. В каждой белой клетке записано количество чёрных клеток, имеющих
с ней хотя бы одну общую вершину. Найдите наибольшее возможное значение
суммы всех записанных чисел.
(
Н. Седракян
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)