Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2021 год


Задача №1.  Многочлены $F$ и $G$ таковы, что $F(F(x)) > F(G(x)) > G(G(x))$ для всех вещественных $x$. Докажите, что $F(x) > G(x)$ для всех вещественных $x$. ( В. Франк )
комментарий/решение
Задача №2.  Точка $M$ — середина основания $AD$ трапеции $ABCD$. На отрезке $BM$ отмечена точка $E$. Оказалось, что $\angle ADB = \angle MAE = \angle BMC$. Докажите, что треугольник $BCE$ — равнобедренный. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение
Задача №3.  Даны положительные вещественные числа $a_1$, $\ldots$, $a_k$, $b_1$, $\ldots$, $b_k$. Пусть $A = \sum\limits_{i = 1}^k {{a_i}}$, $B = \sum\limits_{i = 1}^k {{b_i}} .$ Докажите неравенство $${\left( {\sum\limits_{i = 1}^k {\frac{{{a_i}{b_i}}}{{{a_i}B + {b_i}A}} - 1} } \right)^2} \ge \sum\limits_{i = 1}^k {\frac{{a_i^2}}{{{a_i}B + {b_i}A}}} \cdot \sum\limits_{i = 1}^k {\frac{{b_i^2}}{{{a_i}B + {b_i}A}}} .$$ ( F .Dong, J. Ge )
комментарий/решение
Задача №4.  Дано натуральное число $n$. Монотонный путь в квадрате $n\times n$ — это путь из левого нижнего угла в правый верхний, который идет по линиям сетки, смещаясь каждым шагом вверх или вправо. Для каждого $k$, $0 \le k < 2n - 1$, обозначим через $S_k$ множество всех монотонных путей, для которых количество клеток квадрата, лежащих ниже пути, дает остаток $k$ при делении на $2n - 1$. Докажите, что множества $S_k$ имеют поровну элементов. ( M. Just, M. Schneider )
комментарий/решение
Задача №5.  Синусы трех острых углов образуют арифметическую прогрессию, а их косинусы — геометрическую. Докажите, что все три угла равны. ( С. Берлов )
комментарий/решение
Задача №6.  На доске $n \times n$ $(n > 1)$ отмечено $k$ клеток. Требуется переставить строки и столбцы так, чтобы все отмеченные клетки оказались не ниже главной диагонали. При каком наибольшем $k$ это гарантированно возможно? ( М. Антипов )
комментарий/решение
Задача №7.  Дан остроугольный треугольник $ABC,$ $AC \ne BC.$ Высоты, проведенные из вершин $A$ и $B,$ пересекаются в точке $H$ и пересекают биссектрису внешнего угла $C$ в точках $Y$ и $X$ соответственно. Биссектриса внешнего угла $AHB$ пересекает отрезки $AX$ и $BY$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Докажите, что если $P X = QY,$ то $AP + BQ > 2CH.$ ( Д. Ширяев, Е. Лопатин )
комментарий/решение
Задача №8.  В последовательности квадратных трёхчленов $P_n$ каждый трёхчлен, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих. Первые два трехчлена не имеют общих корней. Может ли случиться, что при каждом $n$ у $P_n$ есть целый корень? ( А. Голованов )
комментарий/решение