қазақша
русскийП. Кожевников
Есеп №1. $a < 1000$ болатыңдай $a$ және $b$ натурал сандары берілген. $a^{21}$ саны $b^{10}$ санына бөлінсе, онда $a^2$ саны $b$ санына бөлінетінін дәлелдеңіз. ( П. Кожевников )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №2. $AB \parallel CD$, $BC \parallel AD$, $AC \parallel DE$, $CE \perp BC$ болатындай $ABCDE$ дөңес бесбұрышы берілген. $EC$ — $BED$ бұрышының биссектрисасы болатынын дәлелдеңіз. ( П. Кожевников )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №3. $\angle BAK=\angle CAL=90{}^\circ $ болатындай, $ABC$ үшбұрышының $BC$ қабырғасында $K$ және $L$ нүктелері табылды. $A$ төбесінен түсірілген биіктіктің ортасы, $KL$ кесіндісінің ортасы және $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі бір түзудің бойында жатанынын дәлелдеңіз. ( П. Кожевников, А. Акопян, С. Боев )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №4. $\angle BAK=\angle CAL=90{}^\circ $ болатындай, $ABC$ үшбұрышының $BC$ қабырғасында $K$ және $L$ нүктелері табылды. $A$ төбесінен түсірілген биіктіктің ортасы, $KL$ кесіндісінің ортасы және $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі бір түзудің бойында жататынын дәлелдеңіз. ( П. Кожевников, А. Акопян, С. Боев )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №5. $6\times 6$ кестенің әрбір ұяшығына оң сан жазылған (жазылған сан бүтін болуы міндетті емес). Кестенің төрт ұяшықтан құралған «Г» әрпі түріндегі кез келген фигурасында тұрған төрт санның көбейтіндісі 100-ге тең. Кестенің жоғарғы сол жақтағы ұяшығында 2 саны жазылған. Кестенің жоғарғы оң жағындағы ұяшықта қандай сан жазылуы мүмкін? (Барлық мүмкін жауаптарды көрсетіңіз.) ( П. Кожевников )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №6. Центрі $O$ нүктесі болатын $\Omega$ шеңберіне дөңес $A_1C_2B_1B_2C_1A_2$ алтыбұрышы іштей сызылған. $A_1B_1$ және $A_2B_2$ сәулелері $P$ нүктесінде, ал $A_1C_1$ және $A_2C_2$ кесінділері $Q$ нүктесінде қиылысады. $\Gamma_1$ шеңбері $OB_1$ және $OC_1$ түзулерін, сәйкесінше, $B_1$ және $C_1$ нүктелерінде жанайды, ал $\Gamma_2$ шеңбері $OB_2$ және $OC_2$ түзулерін, сәйкесінше, $B_2$ және $C_2$ нүктелерінде жанайды. $PQ$ түзуінің бойынан, $\Gamma_1$ шеңберін $\Gamma_2$ шеңберіне өткізетін гомотетияның центрі табылатындығын дәлелдеңіз. ( П. Кожевников, Зауытхан А. )
комментарий/решение(3) олимпиада
Есеп №7. $\omega$ шеңбері $\Omega$ шеңберінің ішінде орналасқан және оны $P$ нүктесінде іштей жанайды. $\omega$ шеңберінде $S$ нүктесі алынып, сол нүкте арқылы $\omega$-ға жанама жүргізіледі. Бұл жанама $\Omega$ шеңберін $A$ және $B$ нүктелерінде қияды. $I$ — $\omega$ шеңберінің центрі. $AIB$ үшбұрышының шеңберлерінің центрлерінің геометриялық орны қандай екенін табыңыз. ( П. Кожевников, А. Заславский )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №8. Шахмат ретімен екі түске (қара және ақ) боялған шексіз торкөз қағаз берілген. Бұл қағаздан 25 ақ және 25 қара торкөзден тұратын торкөзді фигура қиып алынған. Бұл фигураның кез келген торкөзінен кез келген басқа торкөзіне ортақ қабырғасы бар көрші торкөздері (диагональ бойынша емес) өту арқылы жетуге болады. Фигурадан кепілді түрде қиып алуға болатын доминолардың ең көп саны қандай? (Домино — бұл өлшемі $1\times 2$ немесе $2 \times 1$ болатын фигура). ( П. Кожевников )
комментарий/решение(1) олимпиада