қазақша
русскийЮниорская олимпиада по математике. Областной этап. 2023-2024 учебный год. 8 класс.
Задача №1. Число $\alpha$ является корнем уравнения $x^2-2x-5=0$. Найдите $\alpha^7 - 1189\alpha$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Айгерим и Батырхан играют в такую игру. Имеется доска размером $2 \times 2024$ (2 строки и 2024 столбца). Они ходят по очереди. Айгерим ходит первой. Айгерим в свой ход кладёт на доску горизонтальные домино $\square\!\square$, покрывая ровно две клетки доски. А Батырхан в свою очередь кладёт на доску вертикальные домино $\rotatebox{90}{$\square \! \square$}$, покрывая ровно две клетки доски. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет при правильной игре? (Домино разрешается класть только на пустые клетки.)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №3. В треугольнике $ABC$ проведена биссетриса $AD$. Прямая, проходящая через точку $D$ перпендикулярно $AD$, пересекает продолжение стороны $AB$ в точке $F$. Оказалось, что $AD=CD$ и $\angle BAD + \angle DBF = 120^\circ$. Найдите отношение $DF : AC$.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №4. Найдите все тройки $(a, b, c)$ натуральных чисел, которые удовлетворяют уравнению $a!b!=a!+b!+c!$.
комментарий/решение
комментарий/решение