қазақша
русскийОлимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2022 год
Задача №1. У Пети и Васи на столе стоит вазочка с 1500 конфетами, а под столом — огромный мешок с запасными конфетами. Они делают ходы по очереди, начинает Петя. В свой ход участник может или слопать 7 конфет из вазочки или достать из-под стола 6 конфет и добавить их в вазочку. При этом игрок не имеет права два хода подряд залезать под стол. Выигрывает игрок, после хода которого в вазочке не осталось конфет. Если же очередной игрок не может сделать ход, объявляется ничья. Есть ли у кого-нибудь из игроков выигрышная стратегия?
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №2. Даны целые числа $a$, $b$, $c$ и нечетное простое число $p$. Докажите, что $x^2+y^2+ax+by+c$ при некоторых целых $x$ и $y$ делится на $p$.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №3. Биссектрисы прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом при вершине $B$ пересекаются в точке $I$. Перпендикуляр, опущенный из точки $B$ на прямую $IC$, пересекает прямую $IA$ в точке $D$, а перпендикуляр, опущенный из $B$ на прямую $IA$, пересекает $IC$ в точке $E$. Докажите, что центр описанной окружности треугольника $IDE$ лежит на прямой $AC$.
(
А. Кузнецов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. На плоскости отмечено несколько «хороших» и несколько «плохих» точек и проведено несколько отрезков. Каждый отрезок соединяет хорошую точку с плохой, причём из каждой точки выходит не более 100 отрезков. Имеются краски 200 цветов. У каждого отрезка одну половину красят в один из этих цветов, а другую — в другой. Всегда ли удастся добиться того, чтобы любые два отрезка с общим концом были окрашены в четыре разных цвета?
(
X. Zhang,
M. Qi
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №5. В каждой строке таблицы $24\times 8$ выписана перестановка чисел от 1 до 8. После этого в каждом столбце числа перемножены. Какое наименьшее значение может иметь сумма полученных произведений?
(
C. Wu
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. В городе Невозвращенск $N$ автобусных остановок, пронумерованных числами от 1 до $N$. Каждый автобусный маршрут имеет ровно две остановки: начальную и конечную, автобус едет только в одну сторону, а вся автобусная сеть устроена так, что с какой бы остановки вы ни уехали, вернуться на нее, пользуясь автобусами, не удастся. Когда мэр замечает маршрут, ведущий от остановки с большим номером к остановке с меньшим, он приказывает поменять местами таблички с номерами начальной и конечной остановок маршрута. Могут ли перестановки табличек продолжаться бесконечно?
(
К. Иванов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №7. Точка $M$ — середина стороны $AB$ равностороннего треугольника $ABC$. На стороне $BC$ выбрана такая точка $D$, что $BD:DC=3:1$. На прямой, проходящей через точку $C$ параллельно $MD$, внутри $ABC$ нашлась такая точка $T$, что $\angle CTA=150^\circ$. Найдите угол $MTD$.
(
К. Иванов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №8. Вдоль дороги стоит 8 столбов. Воробей стартует с первого столба, каждую минуту он перелетает на один из соседних. Пусть $a(n)$ — количество способов через $2n+1$ перелётов оказаться на последнем столбе (считаем, что $a(m)=0$ при $m<3$). Докажите, что $a(n)-7a(n-1)+15a(n-2)-10a(n-3)+a(n-4)=0$ при всех $n\geq 4$.
(
Ф. Петров,
Т. Амдеберхан
)
комментарий/решение
комментарий/решение