Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2025 год

Есеп №1. $\Gamma$ шеңберіне сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышы іштей сызылған. Үшбұрыштың $AA_1$ биіктігі жүргізіліп, $A_1$ нүктесінен $AB$ және $AC$ түзулеріне, сәйкесінше, $A_1B_1$ және $A_1C_1$ перпендикулярлары түсірілген. $P$ нүктесі келесідей нүкте: $AB_1 P C_1$ — ауданы $ABC$-ның ауданына тең дөңес төртбұрыш. $P$ нүктесі қатаң түрде $\Gamma$-ның ішінде жатуы мүмкін ба? Жауапты негіздеңіз.
комментарий/решение(2)

Есеп №2. $\alpha$ және $\beta$ — нақты оң сандар болсын. Эсмеральда өзінің саяхатын координаттық жазықтықта $(0,0)$ нүктесінен бастайды. Әр минутта ол ${|x - y|} < 2025$ аумағында қала отыра, бір бірлікке жоғары немесе бір бірлікке оңға жылжиды. Ол $(x, y)$ нүктесіне жеткенде, сол нүктеге бүтін $\lfloor x \alpha + y \beta \rfloor$ санын жазып кетеді. Эсмеральда әр теріс емес бүтін санды дәл бір рет жазғаны анықталды. Эсмеральданың осындай саяхаты мүмкін болатындай барлық $(\alpha, \beta)$ жұптарын анықтаңыз. ($\lfloor x \rfloor$ деп $x$ санынан аспайтын ең үлкен бүтін сан белгіленген.)
комментарий/решение

Есеп №3. $P(x)$ — коэффициенттері бүтін сан болатын тұрақты емес көпмүше болсын, мұнда $P(0) \neq 0$. Бүтін сандардан тұратын $a_1$, $a_2$, $a_3$, $\ldots$ шексіз тізбегінде, кез келген әртүрлі $i$ және $j$ сандары үшін ${a_i-a_j}$ саны $P{(i - j)}$ санына бөлінеді. $a_1$, $a_2$, $a_3$, $\ldots$ тізбегі тұрақты екенін, яғни барлық оң $n$ үшін $a_n = c$ болатындай тұрақты $c$ саны табылатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. $n \geq 3$ — бүтін сан. Шеңберде $n$ ұяшық бар, әр ұяшықта не 0, не 1 саны жазылған. Ұяшықтардың бірінде қораз отыр. Ол келесі операцияларды орындайды:
$\bullet$ Егер ол 0 саны жазылған ұяшықта отырса, онда ол бұл нөлді 1-ге ауыстырып, одан кейін сол ұяшыққа қатысты сағат бағытына қарсы орналасқан көрші ұяшыққа өтеді.
$\bullet$ Егер ол 1 саны жазылған ұяшықта отырса, онда ол бұл бірлікті 0-ге ауыстырып, одан кейін сол ұяшыққа қатысты сағат бағытына қарсы орналасқан екінші ұяшыққа өтеді.
Жеткілікті көп жүрістер санынан кейін келесі мәлімделер орындалатынын дәлелдеңіз: егер қораз $C$ ұяшығында болса, онда ол дәл үш толық айналым жасап, қайтадан $C$ ұяшығына түседі. Оған қоса, одан кейін әр ұяшықтағы сан, қораз үш айналым жасамай тұрғандағы санға тең болады.
комментарий/решение

Есеп №5. Натурал сандардан тұратын $a_1, a_2, \ldots$ шексіз тізбегінде кез келген натурал $m$, $n$ сандары үшін $100!\left(a_{m}+a_{m+1}+\cdots+a_{n}\right)$ саны $a_{n-m+1} a_{n+m}$ санына бөлінеді, бұл жерде $m \leq n$. Осы тізбектің немесе шектелген, немесе сызықты тізбек екенін дәлелдеңіз. (Егер барлық $n \in \mathbb{N}$ үшін $a_n < N$ болатындай тұрақты $N$ саны табылса, онда тізбек шектелген деп аталады. Егер барлық $n \in \mathbb{N}$ үшін $a_n = n \cdot a_1$ болса, онда тізбек сызықты деп аталады.)
комментарий/решение

результаты