Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2025 год

Задача №1. Остроугольный треугольник $ABC$ вписан в окружность $\Gamma$. В треугольнике проведена высота $AA_1$, а из точки $A_1$ опущены перпендикуляры $A_1B_1$ и $A_1C_1$ на прямые $AB$ и $AC$ соответственно. Точка $P$ такова, что $AB_1 P C_1$ — выпуклый четырёхугольник, площадь которого равна площади треугольника $ABC$. Могло ли оказаться так, что $P$ лежит строго внутри $\Gamma$? Ответ обоснуйте.
комментарий/решение(2)

Задача №2. Пусть $\alpha$ и $\beta$ — положительные действительные числа. Эсмеральда совершает путешествие по координатной плоскости, начиная с точки $(0,0)$. Каждую минуту она передвигается либо на одну единицу вверх, либо на одну единицу вправо, ограничиваясь областью ${|x - y|} < 2025$ на координатной плоскости. Когда она посещает точку $(x, y)$, она записывает на ней целое число $\lfloor x \alpha + y \beta \rfloor$. Оказалось, что Эсмеральда записала каждое неотрицательное целое число ровно один раз. Найдите всевозможные пары $(\alpha, \beta)$, для которых такое путешествие возможно. ($\lfloor x \rfloor$ означает наибольшее целое, не превосходящее $x$.)
комментарий/решение

Задача №3. Пусть $P(x)$ — непостоянный многочлен с целыми коэффициентами такой, что $P(0) \neq 0$. Пусть $a_1$, $a_2$, $a_3$, $\ldots$ — бесконечная последовательность целых чисел такая, что для любых различных натуральных $i$ и $j$ разность ${a_i-a_j}$ делится на $P{(i - j)}$. Докажите, что последовательность $a_1$, $a_2$, $a_3$, $\ldots$ должна быть постоянной, то есть существует константа $c$, такая что $a_n = c$ для всех положительных $n$.
комментарий/решение(1)

Задача №4. Пусть $n \geq 3$ — целое число. На окружности расположены $n$ ячеек, и в каждой ячейке записано либо 0, либо 1. В одной из ячеек находится петух, который выполняет следующую операцию:
   $\bullet$ Если находится в ячейке, в которой записан 0, он меняет этот нолик на 1 и переходит на следующую ячейку против часовой стрелки.
   $\bullet$ Если петух находится в ячейке, в которой записан 1, он меняет эту единицу на 0 и переходит через одну ячейку против часовой стрелки.
   Докажите, что через достаточно большое число операций выполняется следующее утверждение: Если петух находится в ячейке $C$, то он совершит ровно три полных круга по окружности и снова окажется в $C$. Более того, к этому моменту каждая ячейка будет содержать то же самое значение, что и перед тем, как петух начал обходить эти три круга.
комментарий/решение

Задача №5. Рассмотрим бесконечную последовательность натуральных чисел $a_1, a_2, \ldots$ такую, что для любых натуральных $m \leq n$ число $100!\left(a_{m}+a_{m+1}+\cdots+a_{n}\right)$ кратно числу $a_{n-m+1} a_{n+m}$. Докажите, что эта последовательность либо ограничена, либо линейна. (Последовательность называется ограниченной, если существует константа $N$ такая, что $a_n < N$ для всех $n \in \mathbb{N}$. Последовательность линейна, если $a_n = n \cdot a_1$ для всех $n \in \mathbb{N}$.)
комментарий/решение

результаты