XX математическая олимпиада «Шелковый путь», 2025 год

Есеп №1.  Нақты сандардан тұратын $S$ жиынының ішінде $x$ саны болса, онда сол жиынның ішінде $1+\frac{1}{x}$ саны да бар. $S$-те дәл 2025 элемент болуы мүмкін бе? ( А. Голованов )
комментарий/решение(2)

---

Есеп №2.  Сүйірбұрышты әрі теңбүйірлі емес $ABC$ үшбұрышының биіктіктері $H$ нүктесінде қиылысады. $M$ және $N$ нүктелері, сәйкесінше, $AB$ және $CH$ кесінділерінің орталары. $CM$ түзуіне $HR$ перпендикуляры түсірілген. $MN$ түзуі $CNR$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді екінші рет $T$ нүктесінде қияды. $CM$, $AH$ және $BH$ түзулерімен шектелген үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің центрін $P$ деп белгілейік. $HP \perp CT$ екенін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2)

---

Есеп №3.  Натурал тақ $a > 1$ саны берілген. Бастапқыда Вася натурал жұп $b < a$ санын таңдап, оны Петяға айтады. Кейін Вася тақтаға үш бүтін сан жазады. Осыдан кейін Петя келесі жүрістер тізбегін жасайды. Бір жүрісте Петя тақтадағы бір санға $a$-ны қосып, екінші санға $b$-ны қосып, ал үшінші саннан $a+b+1$ санын азайтады, немесе керісінше, бір саннан $a$-ны азайтып, екінші саннан $b$-ны азайтып, ал үшінші санға $a+b+1$ санын қоса алады (қай санға қай амал қолдануын әр жүрісте Петя өзі шешеді). Егер бірнеше жүрістен кейін тақтадағы барлық сан 0-ге тең болса, онда Петя ұтады. $a$-ның қандай мәндерінде Вася Петяның ұтуына төтеп бере алмайды? ( И. Богданов )
комментарий/решение

---

Есеп №4.  $p > 200$ -- жай сан болсын. Егер қысқартылмайтын $\frac{a_n}{b_n}=1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n}$ бөлшектің $a_n$ алымы $p$-ға бөлінсе, онда $n$ санын әдемі сан деп атаймыз. Барлық жеткілікті үлкен $N$ сандары үшін $N$-нен аспайтын жақсы сандар саны $C N^{\frac{3}{4}}$-нен артық емес екенін дәлелдеңіз, мұнда $C$ -- қайсыбір ($p$-ға тәуелді болуы мүмкін) тұрақты сан. ( Navid Safaei )
комментарий/решение

---