қазақша
русскийXX математическая олимпиада «Шелковый путь», 2025 год
Задача №1. Множество $S$ вещественных чисел вместе с каждым своим элементом $x$ содержит число $1+\frac{1}{x}$. Может ли в $S$ быть ровно 2025 элементов?
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №2. Высоты остроугольного неравнобедренного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Точки $M$ и $N$ — середины отрезков $AB$ и $CH$ соответственно. На прямую $CM$ опущен перпендикуляр $HR$. Прямая $MN$ пересекает описанную окружность треугольника $CNR$ повторно в точке $T$. Обозначим через $P$ центр описанной окружности треугольника, образованного прямыми $CM$, $AH$ и $BH$. Докажите, что прямые $HP$ и $CT$ перпендикулярны.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №3. Дано нечётное натуральное $a > 1$. Изначально Вася выбирает чётное натуральное число $b < a$ и сообщает его Пете. Потом Вася пишет на доске три целых числа. Затем Петя делает последовательность ходов. За один ход Петя может прибавить к одному числу на доске $a$, к другому $b$, а из третьего вычесть $a+b+1$, либо, наоборот, вычесть из одного числа $a$, из другого $b$, а к третьему прибавить $a+b+1$ (с каким числом что делать, Петя каждый раз выбирает по своему усмотрению). Петя выигрывает, если после нескольких ходов на доске окажутся три нуля. При каких $a$ Вася не сможет ему помешать?
(
И. Богданов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №4. Пусть $p > 200$ -- простое число. Назовём натуральное $n$ хорошим, если числитель несократимой дроби $\frac{a_n}{b_n}=1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n}$ делится на $p$. Докажите, что для всех достаточно больших $N$ количество хороших чисел, не превосходящих $N$, не больше $C N^{\frac{3}{4}}$, где $C$ -- некоторая константа (возможно, зависящая от $p$).
(
Navid Safaei
)
комментарий/решение
комментарий/решение