12-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2025 год, первая лига, 7-8 классы

Есеп №1. Төмендегі суретте Исфаһан қаласының мешітінің тегіс қабырғаның фрагменті көрсетілген. Фрагмент бес түрлі көпбұрыштан тұрады. Оның ішінде дұрыс бесбұрыш пен дұрыс 10-бұрыш бар, және олардың барлық қабырғаларының ұзындықтары бірдей. Фрагменттегі алтыбұрыштың төрт бұрышы тең, және қалған екі бұрышы да өзара тең. Суреттегі белгіленген бұрыштардың шамасын табыңыз.

комментарий/решение(1)

Есеп №2. Тең қабырғалы $ABC$ үшбұрышы берілген. $O_{1}$ және $O_{2}$ нүктелері, сәйкесінше, $AB$ және $AC$ қабырғаларында жатыр. Центрі $O_{1}$ болатын және $B$ нүктесі арқылы өтетін шеңбер, центрі $O_{2}$ болатын және $C$ нүктесі арқылы өтетін шеңбермен $P$ нүктесінде сырттай жанасады ($P$ үшбұрыштың ішінде орналасқан). $BPC$ бұрышын табыңыз.
комментарий/решение

Есеп №3. Арашқа тең бүйірлі тікбұрышты үшбұрыш пішінді қағаз берді. Егер бүктеуден кейін алынған көпбұрыштың барлық бұрыштары $180^{\circ}$-тан кіші болса, онда қағаздың осындай бүктелуі жақсы бүктеу деп аталады. Алдымен Араш бір жақсы бүктеу жасайды. Содан кейін Бабак қағазды алып, тағы екі жақсы бүктеу орындайды, сонда қағаз барлығы үш рет бүктелген болады. Араш ең соңғы алынған көпбұрыштың қабырғаларының саны мүмкіндігінше көп болуын қалайды, ал Бабак керісінше, аз болуын қалайды. Егер екеуі де ең тиімді әрекет жасаса, соңғы көпбұрыштың неше қабырғасы болады?
комментарий/решение

Есеп №4. Әр диагональ кез келген қабырғадан артық болатын дөңес төртбұрыш берілген. Осы төртбұрышта әр диагональдың ұзындығы қандай да бір қабырғаның ұзындығын $\sqrt{3}$-ке көбейткенде шығатын шамадан кем екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение

Есеп №5. $ABC$ үшбұрышында $\angle CAB=15^{\circ}$ және $\angle CBA=30^{\circ}$. $X$ және $Y$ нүктелері $BCA$ бұрышының ішінде орналасқан және $\angle BCX=\angle ACY=45^{\circ}$, $BC=CY$, $AC=CX$ теңдіктері орындалады. $XY$ түзуі $AB$-ны $Z$ нүктесінде қиып өтеді. $AZ=BC$ екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение