Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2026 год

Есеп №1. $o\ge 2$ болатын және келесі теңдікті қанағаттандыратын барлық $(a,p,m,o)$ натурал сандар төрттіктерін табыңыз: \[ a!+p!=m^o+26. \]
комментарий/решение

---

Есеп №2. $n\ge2$ — бүтін сан болсын. Қандай да бір ретпен орналасқан $A_1,A_2,\ldots,A_{2^n}$ жиындар, бұл $n$ элементтен тұратын қандай да бір жиынның барлық $2^n$ ішкі жиындары. Келесі теңсіздікті дәлелдеңіз: \[ |A_1\cap A_2|+|A_2\cap A_3|+\cdots+|A_{2^n-1}\cap A_{2^n}|+|A_{2^n}\cap A_1|\ge2^{n-2}. \] (Бұл жерде $|X|$ деп $X$ жиынының элементтер саны белгіленген.)
комментарий/решение

---

Есеп №3. $\mathbb{R}_{+}$ деп барлық оң нақты сандар жиыны белгілейік. Кез келген $x,y,z\in\mathbb{R}_{+}$ үшін, егер ${|x-y|} < {|y-z|}$ болса ${|f(x)-f(y)|} < {|f(y)-f(z)|}$ теңсіздігі орындалатындай, және керісінше, ${|f(x)-f(y)|} < {|f(y)-f(z)|}$ болса ${|x-y|} < {|y-z|}$ теңсіздігі орындалатындай, барлық $f:\mathbb{R}_{+}\to\mathbb{R}$ функцияларын табыңыз.
комментарий/решение

---

Есеп №4. $ABCD$ төртбұрышы центрі $I$ болатын $\omega$ шеңберіне сырттай сызылған. Төртбұрыштың $AC$ және $BD$ диагональдары $E$ нүктесінде қиылысады. $J$ — $ABD$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбер центрі болсын. $EJ$ сәулесінің жалғасы $\omega$-ны $P$ нүктесінде қиып өтеді. $PI\perp BD$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)

---

Есеп №5.  $n$ — оң бүтін сан болсын. $(n+1)\times n$ өлшемді кестенің ұяшықтарында орналасқан $n(n+1)$ бөлме бар. Қабырғасы ортақ болатын кез келген екі көршілес бөлменің арасында есік бар.
   Келесі шарттар орындалатындай бірнеше есіктер жиынын неше тәсілмен таңдап алуға болады: таңдалған есіктердің барлығын құлыптағаннан кейін келесі шарттарды қанағаттандыратын $S$ және $G$ бөлмелері табылады:
   (i) $S$ бірінші қатарда, ал $G$ бөлмесі $(n+1)$-ші қатарда орналасқан;
   (ii) $S$ бөлмесінен $G$ бөлмесіне тек құлыпталмаған есіктер арқылы ғана жетуге болады.
комментарий/решение

---