Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2026 год

Задача №1. Найдите все четверки положительных целых чисел $(a,p,m,o)$, в котором $o\ge 2$, удовлетворяющие равенства \[ a!+p!=m^o+26. \]
комментарий/решение

---

Задача №2. Пусть $n\ge2$ — целое число. Пусть $A_1,A_2,\ldots,A_{2^n}$ — это $2^n$ подмножеств некоторого $n$-элементного множества, расположенные в некотором порядке. Докажите, что \[ |A_1\cap A_2|+|A_2\cap A_3|+\cdots+|A_{2^n-1}\cap A_{2^n}|+|A_{2^n}\cap A_1|\ge2^{n-2}. \] (Здесь $|X|$ означает число элементов множества $X$.)
комментарий/решение

---

Задача №3.  Пусть $\mathbb{R}_{+}$ обозначает множество всех положительных действительных чисел. Найдите все функции $f:\mathbb{R}_{+}\to\mathbb{R}$ такие, что для любых $x,y,z\in\mathbb{R}_{+}$ выполнено неравенство \[ |x-y| < |y-z|\] тогда и только тогда, когда \[|f(x)-f(y)| < |f(y)-f(z)|. \]
комментарий/решение

---

Задача №4. Четырехугольник $ABCD$ описан около окружности $\omega$ с центром $I$. Диагонали $AC$ и $BD$ четырехугольника пересекаются в точке $E$. Пусть $J$ — центр вписанной окружности треугольника $ABD$. Продолжение луча $EJ$ пересекает окружность $\omega$ в точке $P$. Докажите, что $PI\perp BD$.
комментарий/решение(2)

---

Задача №5.  Пусть $n$ — положительное целое число. Имеется $n(n+1)$ комнат, расположенных в клетках таблицы размера $(n+1)\times n$. Между любыми двумя соседними по стороне комнатами есть дверь.
   Найдите число способов выбрать некоторое подмножество дверей, что после их запирания существовали две комнаты $S$ и $G$, удовлетворяющие следующим условиям:
   (i) $S$ находится в первой строке, а $G$ — в $(n+1)$-й строке;
   (ii) из $S$ можно попасть в $G$ только через незапертые двери.
комментарий/решение

---