Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2022-2023 учебный год, II тур заключительного этапа

Есеп №1. Маша төрт әртүрлі оң сан алып, екі-екіден алған барлық мүмкін жұптардағы сандарды көбейтіп, алты көбейтіндіні өсу ретімен бір қатарға жазды. Осы қатардағы көрші сандар арасындағы барлық бес айырмашылық бірдей болуы мүмкін бе? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №2. Бір елде 100 қала бар және әрбір екі қала бір-бірінен ең көп дегенде бір жолмен байланысқан. Бір күні патша әр жолда бір бағытты қозғалысты енгізуді, сонымен бірге әр жолды ақ немесе қара түске бояуды бұйырды. Көлік министрі бұйрықты орындағаннан кейін, жолдың түстерін кезектесе отырып (бірінші жол ақ түсті болатындай), кез келген қаладан басқа қалаға жете алуға болатынын мақтанышпен мәлімдеді. Бұл елде ең аз дегенде неше жол болуы мүмкін? Бір қаладан екінші қалаға жету барысында аралық қалалардан бірнеше рет өтуге рұқсат. ( М. Антипов )
комментарий/решение(8)

---

Есеп №3. Дөңес $ABCD$ төртбұрышында $AB = BC = CD = 4$ екені белгілі. $AB$ және $CD$ қабырғаларында, сәйкесінше, $K$ және $L$ нүктелері $AK = DL = 1$ болатындай алынған. $AD$ қабырғасында төртбұрыштың сыртына қарай $AM = MD = 2$ болатындай $AMD$ үшбұрышы салынған. Егер $KL = 2$ болса $BM = CM$ екенін дәлелдеңіз. ( Ц. Французов )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №4. 1-ден үлкен натурал $k$ саны берілген. 1-ден үлкен және $k$ санымен өзара жай болатын $n$ саны үшін, егер $n$ санының кез келген $d$ бөлгіші ($d < n$) үшін ${d+k}$ саны $n$ санымен өзара жай болмаса, ондай $n$ санын дұрыс сан деп атаймыз. Дұрыс сандар саны шекті екенін дәлелдеңіз. ( С. Берлов )
комментарий/решение(2)

---