қазақша
русскийМатематикадан республикалық олимпиада, 2000-2001 оқу жылы, 9 сынып
Есеп №1. Теңдеуді нақты сандар жиынында шешіңдер: ${{x}^{5}}-{{y}^{5}}={{x}^{3}}-{{y}^{3}}=x-y$.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №2. $M$ нүктесі $ABC$ үшбұрыштағы $BC$ қабырғасының ортасы болсын. $AC$ түзудің бойында $AL=CN$ және $CL=AN$ теңдіктері орындалатындай, бір-бірімен беттеспейтін $L$ және $N$ нүктелері таңдап алынған. $LM$ және $NM$ түзулердің $AB$ түзуімен қиылысу нүктелері сәйкесінше $A$ және $B$ нүктелерден бірдей қашықтықта жататындығын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. «Теңіз шайқасы» ойын тақтасының пішіні $8\times 8$ квадрат болып табылады. Тақтаның шаршыларында детектор құрылғылары орнатылады. Бұл құрылғылар кеменің шаршыны басатын-баспайтынын көрсетеді. Осыдан кейін тақтаның үстіне, пішіні $1\times 4$ тік төртбүрыш болып табылатын бір кеме қойылады. Детекторлардың көрсетулері бойынша кеменің орнын бірден-бір анықтау үшін, кем дегенде қанша детекторларды орналастыру керек.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. Цорк деген сфералық планетасында бірнеше қала және осы қалаларды байланыстыратын әуежолдар бар. Кез келген қаланың достас қаласы бар (екі достас қалалар бір-біріне планетаның центріне қарағанда симметриялы орналасқан). Егер екі $P$ және $Q$ қалалары бір-бірімен әуежол арқылы байланысқан болса, онда олардың сәйкес $P'$ және $Q'$ достас қалалары да бір-бірімен әуежол арқылы байланысқаны белгілі. Кез келген қаладан кез кезген басқа қалаға әуежолдар арқылы ұшып баруға болады. Тағы да, әуежол арқылы байланысқан екі қаладағ жанармай құндарының өзгешелігі 50 алтын теңгеден аспайтындығы белгілі. Жанармай құндарының өзгешелігі 50 алтын теңгеден аспайтын екі достас қала табылатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №5. Кем дегенде бір ортақ нүктесі бар екі шеңбер берілген. Егер $M$ нүктесі арқылы екі әр түрлі $l$ және $m$ түзулерді жүргізгеннен кейін, $l$ түзуі бірінші шеңберді екі $A$ және $B$ нүктелерінде, ал $m$ түзуі екінші шеңберді екі $C$ және $D$ нүктелерінде қиып, пайда болған төрт нүкте бір шеңбердің бойында жататын болса, $M$ нүктесі «ерекше» деп аталады. Барлық «ерекше» нүктелсрдің геометриялық орнын табындар.
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)
Есеп №6. Оң $a$, $b$ және $c$ сандары $abc\ge 1/64$ теңсіздігін қанағаттандырады. ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+\dfrac{1}{4}\left( a+b+c \right)\ge \dfrac{1}{4}\left( \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \right)$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №7. Отбасыда төрт бала бар. Әр баланың жасы — 16-дан аспайтын натурал сан, және де балалардың жастары әр түрлі. Бүгін ең үлкен бала жасының квадраты қалған үш баланың жастар квадраттарының қосындысына тең. Дәл бір жылдан кейін ең үлкен және ең кіші балалардың жастар квадратгарының қосындысы қалған екеуінің жастар квадраттарының қосындысына тең болады. Әр баланың бүгінгі жасын анықтаңдар.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №8. $n$ футбол командаларының арасында жарыс ұйымдастырылған. Кез келген екі команда бір-бірімен тек қана бір рет ойнайды. Әр ойын жексенбі күні өткізіледі және бір күнде әр команда бір реттен көп ойнамайды. Жарысты аяқтау үшін, кем дегенде қанша жексенбі күндерінің саны керек?
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)