қазақша
русскийМатематикадан республикалық олимпиада, 2020-2021 оқу жылы, 9 сынып
Есеп №1. $a+b+c+\dfrac{1}{abc}=\dfrac{19}{2}$ теңдігі орындалатындай $a,b,c$ оң нақты сандары берілген. $a$ -ның ең үлкен мүмкін мәнін табыңыз.
(
Ануарбеков Т.
)
комментарий/решение(9)
комментарий/решение(9)
Есеп №2. Энциклопедияның жүз томы 1-ден 100-ге дейін номірленген. Олар сөреде рет сақтаусыз қойылып тұр. Бір операцияда кез келген үш томды алып, оларды өз орындарында кез келген ретпен қоюға болады (яғни, егер осы томдар $a,b,c$ орындарында тұрса, онда бұл операциядан кейін осы томдар $a,b,c$ орындарында қалады, бірақ, мүмкін, басқа ретпен). $m$--нің ең кіші қандай мәнінде, алғашында томдар қалай орналасқанына қарамастан, $m$ операциямен осы томдарды рет сақталатындай орналастыруға болады деп пайымдауға болады? (Егер 1-ші том 1-орында, 2-ші том 2-ші орында, ..., 100-ші том 100-ші орында болса, онда томдар рет сақталуымен тұр деп есептейміз.)
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)
Есеп №3. $ABCD$ дөңес төртбұрышының $AB$ және $CD$ қабырғаларының созындысы $P$ нүктесінде, ал $AC$ және $BD$ диагональдері $Q$ нүктесінде қиылысады. $M$ және $N$ нүктелері сәйкесінше $AC$ және $BD$ диагональдерінің орталары. $BCQ$ және $MNQ$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер $T$ ($T\ne Q$) нүктесінде қиылысады. Егер $\angle APD =90^\circ$ болса, онда $PT$ түзуі $MN$ кесіндісінің ортасынан өтетінін дәлелдеңіз.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. $ABC$ ($AC > BC$) үшбұрышы $\omega$ шеңберіне іштей сызылған. Осы үшбұрыштың $CN$ биссектрисасы $\omega$--ны $M$ ($M\ne C$) нүктесінде қияды. $BN$ кесіндісінің бойында кез келген $T$ нүктесі белгіленген. $H$ нүктесі — $MNT$ үшбұрышының ортоцентрі болсын. $MNH$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер $\omega$--ны $R$ ($R\ne M$) нүктесінде қияды. $\angle ACT = \angle BCR$ екенін дәлелдеңіз.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Есеп №5. Бір уақытта келесі шарттарды қанағаттандыратын әртүрлі натурал $a_1,a_2, \ldots, a_{100}$ сандары табылады ма:
i) барлық $1\le i < j\le 100$ үшін, $a_1a_2\ldots a_{100}$ саны $a_i+a_j$ санына бөлінеді;
ii) әрбір $k=1,2,\ldots ,100$ үшін, $1\le i < j\le 100$ және $a_1a_2\ldots a_{k-1}a_{k+1}\ldots a_{100}$ саны $a_i+a_j$ санына бөлінбейтіндей $i,j$ индекстері табылады? ( А. Голованов )
комментарий/решение(3)
i) барлық $1\le i < j\le 100$ үшін, $a_1a_2\ldots a_{100}$ саны $a_i+a_j$ санына бөлінеді;
ii) әрбір $k=1,2,\ldots ,100$ үшін, $1\le i < j\le 100$ және $a_1a_2\ldots a_{k-1}a_{k+1}\ldots a_{100}$ саны $a_i+a_j$ санына бөлінбейтіндей $i,j$ индекстері табылады? ( А. Голованов )
комментарий/решение(3)
Есеп №6. Натурал $n$ саны берілген. Әрбір $i=1,2, \ldots,n$ үшін $x_1^3+x_2^3+\ldots +x_i^3=(x_1+x_2+ \ldots+ x_i)^2$ теңдігі орындалатын болса, онда $(x_1,x_2, \ldots, x_n)$ нақты сандар тізбегі жақсы деп аталады. Әртүрлі жақсы тізбектердің саны $3^{n-1}+2^{n-1}$ санынан көп емес екенін дәлелдеңіз. (Кем дегенде бір $i=1,2, \ldots, n$ үшін $x_i\ne y_i$ болса, онда $(x_1,x_2, \ldots, x_n)$ және $(y_1,y_2, \ldots, y_n)$ тізбектері әртүрлі болып саналады.)
(
Н. Седракян
)
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)