қазақша
русскийОлимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2022 год
Есеп №1. Патшалықта 100 қала бар, кейбір қала жұптары жолдармен қосылған. Кез келген жолмен жалғасқан $A$ және $B$ қалалары үшін олардың екеуінің біреуімен де жалғаспаған $C$ қаласы табылады. Бұл патшалықта ең көп дегенде қанша жол болуы мүмкін?
(
X. Zhan,
P. Qiaoa
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №2. $\omega_1$ және $\omega_2$ шеңберлері $L$ нүктесінде сырттай жанасады. Түзу $\omega_1$ шеңберімен $A$ нүктесінде, $\omega_2$ шеңберімен $B$ нүктесінде жанасады ($A$ және $B$ нүктелері $L$ нүктесінен өзгеше). Жазықтықта $X$ нүктесі таңдалды. $Y$ және $Z$ нүктелері $XA$ және $XB$ түзуінің сәйкесінше $\omega_1$ және $\omega_2$ шеңберімен екінші қиылысу нүктелері. Егер $AB \parallel YZ$ болса, барлық $X$ нүктелері бір шеңберде жататынын дәлелдеңіз.
(
К. Иванов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №3. Барлық натурал сандарды үш түске бояуға бола ма: кез келген натурал сан үшін бөлгіштер санының әр түстегі айырмасы 2-ден аспайды?
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №4. Кез келген оң $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_6$ сандары үшін келесі теңсіздікті дәлелдеңіз: $$ \root 4\of {a_1\over a_2+a_3+a_4}+ \root 4\of {a_2\over a_3+a_4+a_5}+ \ldots+ \root 4\of {a_6\over a_1+a_2+a_3} \geq 2. $$
(
А. Храбров
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. $x^2+ax+b$ квадрат үшмүше ($a,b\in \mathbb{R}$) қатар келген 10 бүтін аргументтерде барлығы 2-нің бүтін дәрежесіне тең бола алмайтынын дәлелдеңіз.
(
Ф. Петров
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №6. Костя координаттық жазықтықта $A(0,1)$, $B(1,0)$, $C(0,0)$ нүктелерін белгіледі. $ABC$ үшбұрышының катеттерінде келесі нүктелерді белгіледі: $({1\over 2},0)$, $({1\over 3},0)$, $\ldots$, $({1\over n+1},0)$ және $(0,{1\over 2})$, $(0,{1\over 3})$, $\ldots$, $(0,{1\over n+1})$. Бұдан кейін Костя барлық осы нүктелерді жұптап түзулермен қосты. Саша $1\times n$ өлшемді торлы тіктөртбұрыш салып, оның шекарасындағы бүтін координатты нүктелерді де түзулермен жұптап қосты. Нәтижесінде үшбұрыш пен тіктөртбұрыш кесінділермен көпбұрыштарға бөлінді. Кімде көпкөпбұрыш саны көп болып шықты — Сашада ма, әлде Костяда ма?
(
М. Алексеев
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №7. $1\times 5n$ өлшемді тіктөртбұрышты келесі плиткаларға бөледі: әр плитка не бір ұяшық, не «үзік домино», ол екі ұяшықтан тұрады, олардың арасында төрт бос ұяшық бар. Мұндай бөлулер саны санның дәл бесінші дәрежесіне тең сан екенін дәлелдеңіз.
(
К. Кохась
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №8. Сүйір бұрышты $ABC$ үшбұрышында $C_m$, $A_m$, $B_m$ — сәйкесінше $AB$, $BC$, $CA$ қабырғаларының ортасы. $ABC$ үшбұрышының ішінде келесідей $P$ нүктесі таңдалды: $\angle PCB=\angle B_mBC$ және $\angle PAB=\angle ABB_m$. $P$ нүктесінен $AC$ қабырғасына перпендикуляр түзу жүргізіліп, ол $BB_m$ медианасын $E$ нүктесінде қиып өтеді. $E$ нүктесі $A_mB_mC_m$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберінде жататынын дәлелдеңіз.
(
К. Иванов
)
комментарий/решение
комментарий/решение