қазақша
русскийОлимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2022 год
Задача №1. В королевстве 100 городов, некоторые пары городов соединены дорогами. Известно, что для любых двух городов $A$ и $B$, соединенных дорогой, найдется город $C$, не соединенный дорогой хотя бы с одним из этих двух городов. Какое наибольшее количество дорог может быть в этом королевстве?
(
X. Zhan,
P. Qiaoa
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №2. Две окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ касаются внешним образом в точке $L$. Прямая касается $\omega_1$ в точке $A$ и $\omega_2$ в точке $B$ (точки $A$ и $B$ отличны от $L$). На плоскости выбирается точка $X$. Точки $Y$ и $Z$ — вторые точки пересечения прямых $XA$ и $XB$ с $\omega_1$ и $\omega_2$ соответственно. Докажите, что все точки $X$, для которых $AB \parallel YZ$, лежат на одной окружности.
(
К. Иванов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №3. Можно ли раскрасить все натуральные числа в три цвета так, чтобы количества делителей каждых двух цветов у каждого натурального числа отличались не более чем на 2?
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №4. Для любых положительных чисел $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_6$ докажите неравенство $$ \root 4\of {a_1\over a_2+a_3+a_4}+ \root 4\of {a_2\over a_3+a_4+a_5}+\ldots+ \root 4\of {a_6\over a_1+a_2+a_3} \geq 2. $$
(
А. Храбров
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Докажите, что квадратный трехчлен $x^2+ax+b$ (где $a, b\in \mathbb{R}$) не может принимать в десяти последовательных целых точках значения, равные степеням двойки с целым неотрицательным показателем.
(
Ф. Петров
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №6. Костя отметил на координатной плоскости точки $A(0,1)$, $B(1,0)$, $C(0,0)$. На катетах трегоульника $ABC$ он отметил точки с координатами $({1\over 2}, 0)$, $({1\over 3}, 0)$, $\ldots$, $({1\over n+1}, 0)$ и $(0, {1\over 2})$, $(0, {1\over 3})$, $\ldots$, $(0, {1\over n+1})$. После этого Костя попарно соединил прямолинейными отрезками Саша нарисовал клетчатый прямоугольник $1\times n$ и тоже попарно соединил прямолинейными отрезками все целочисленные точки, лежащие на его границе. В результате и треугольник, и прямоугольник разбиты проведенными отрезками на многоугольники. У кого получилось больше многоугольников разбиения — у Саши или у Кости?
(
М. Алексеев
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №7. Прямоугольник $1\times 5n$ клеток разбивают на плитки, каждая из которых — это либо отдельная клетка, либо «рваная доминошка», которая состоит из двух клеток, между которыми лежит четыре клетки (не принадлежащие этой доминошке). Докажите, что количество таких разбиений является точной пятой степенью.
(
К. Кохась
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №8. В остроугольном треугольнике $ABC$ точки $C_m$, $A_m$, $B_m$ являются серединами сторон $AB$, $BC$, $CA$ соответственно. Внутри треугольника $ABC$ выбрана такая точка $P$, что $\angle PCB=\angle B_mBC$ и $\angle PAB=\angle ABB_m$. Через точку $P$ проведена прямая, перпендикулярная $AC$ и пересекающая медиану $BB_m$ в точке $E$. Докажите, что точка $E$ лежит на описанной окружности треугольника $A_mB_mC_m$.
(
К. Иванов
)
комментарий/решение
комментарий/решение