Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2026 год

Есеп №1. $a$, $b$, $c$ — натурал сандар. $$ 13a^2+b^2+c^2-4ab-6ac+b $$ өрнегі қандай ең кіші натурал мәнді қабылдай алады?
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Табаны $AC$ болатын теңбүйірлі $ABC$ үшбұрышы берілген. $BC$ қабырғасында $\angle CAL=\angle BAL$ болатындай $L$ нүктесі алынған. $AC$ қабырғасының $C$ нүктесінен ары созындысында $CK=CL$ болатындай $K$ нүктесі белгіленген. $LK=BL$ екені белгілі. $AC=AL$ теңдігін дәлелдеңіз.
комментарий/решение

Есеп №3. $n_1,n_2,\ldots,n_{10}$ натурал сандарының қосындысы $1000$-ға тең. \\$n_1!\cdot n_2!\cdot \ldots \cdot n_{10}!$ көбейтіндісі қандай да бір натурал санның дәл $10$-дәрежесі екені белгілі. $n_1+n_2+n_3+n_4+n_5$ қосындысы қандай мәндерді қабылдай алады? (Бұл жерде $n!$ деп $1$-ден $n$-ге дейінгі барлық натурал сандардың көбейтіндісі белгіленген.)
комментарий/решение

Есеп №4. $n$ депутаттан тұратын бір компанияда әр депутат басқа жеті депутатты құрметтейді. Сонымен қатар, бірін-бірі өзара құрметтейтін екі депутат жоқ. Осындай жағдай $n$-нің қандай ең кіші мәнінде мүмкін бола алады?
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Батыр бір натурал $n$ санын ойлады да, үтірсіз және бос орынсыз $n$-нен $n+9$ санына дейінгі он санның ондық жазылуын өсу ретімен қатар жазды (мысалы, $n=4$ болса, ол $45678910111213$ деп жазар еді). Осы жазбада $0$-ден $9$-ға дейінгі барлық цифрлар саны бірдей болуы мүмкін бе?
комментарий/решение

Есеп №6. $7\times 7$ кестесінің әр ұяшығында 1, 3, 5, 7 сандарының бірі жазылған. Сызық деп кез келген жолды, бағанды немесе диагональды атаймыз (диагональдағы ұяшықтар саны $1$-ден $7$-ге дейін болуы мүмкін; барлығы $26$ диагональ бар). Сандарының қосындылары тең болатын екі сызық табылатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение

Есеп №7. $ABC$ үшбұрышы берілген, мұнда $\angle A=90^\circ$. $AC$ қабырғасында $\angle ABK=\angle CBK$ болатындай $K$ нүктесі алынған. $CK$ кесіндісінде $D$ нүктесі, ал $BC$ кесіндісінде $E$ нүктесі белгіленген, мұнда $\angle KDE=90^\circ$ және $AK=DE$. $BE+KD=AB$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение

Есеп №8. Дөңгелек үстелдің айналасында $12$ ұл және $12$ қыз отыр, әрі көрші отырған екі ұл да, көрші отырған екі қыз да жоқ. Әр бала маңдайына оң сан жазып қойған. Мұғалім мынадай заңдылықты байқады: әр ұлдың маңдайындағы сан — жанында отырған екі қыздың маңдайындағы сандардың көбейтіндісіне тең, ал әр қыздың маңдайындағы сан — жанында отырған екі ұлдың маңдайындағы сандардың қосындысына тең. Барлық $24$ санның қосындысы қандай мәнді қабылдай алады?
комментарий/решение