Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2026 год

Задача №1. Какое наименьшее натуральное значение может принимать выражение $$13a^2+b^2+c^2-4ab-6ac+b$$ для натуральных чисел $a,b,c$?
комментарий/решение(1)

Задача №2. Дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. Точка $L$ на стороне $BC$ такова, что $\angle CAL = \angle BAL$. На продолжении стороны $AC$ за точку $C$ отмечена точка $K$ так, что $CK=CL$. Оказалось, что $LK=BL$. Докажите, что $AC=AL$.
комментарий/решение

Задача №3. Сумма натуральных чисел $n_1,n_2,\ldots,n_{10}$ равна $1000$. Известно, что произведение их факториалов $n_1!\cdot n_2!\cdot \ldots\cdot n_{10}!$ является точной 10-й степенью натурального числа. Какие значения может принимать выражение $n_1+n_2+n_3+n_4+n_5$? (Здесь через $n!$ обозначено произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$.)
комментарий/решение

Задача №4. В компании из $n$ депутатов любой уважает семерых других. При этом нет двух депутатов, которые уважали бы друг друга. Найдите наименьшее возможное значение $n$.
комментарий/решение(1)

Задача №5. Батыр задумал натуральное число $n$ и выписал в ряд без запятых и без пробелов десятичные записи десяти чисел от $n$ до $n+9$ в порядке возрастания (например, при $n=4$ он бы выписал 45678910111213). Могло ли оказаться так, что в этой записи все десять цифр от 0 до 9 встречаются одинаковое количество раз?
комментарий/решение

Задача №6. В каждой клетке таблицы $7\times 7$ стоит одно из чисел 1, 3, 5, 7. Назовём линией любую строку, столбец или диагональ (количество клеток в диагонали может быть любым от $1$ до $7$ включительно; всего диагоналей $26$). Докажите, что найдутся две линии, в которых суммы чисел равны друг другу.
комментарий/решение

Задача №7. Дан треугольник $ABC$, $\angle A=90^\circ$. Точка $K$ на стороне $AC$ такова, что $\angle ABK=\angle CBK$. На отрезке $CK$ отмечена точка $D$, а на отрезке $BC$ отмечена точка $E$ так, что $\angle KDE = 90^\circ$ и $AK=DE$. Докажите, что $BE+KD=AB$.
комментарий/решение

Задача №8. За круглым столом сидят 12 мальчиков и 12 девочек, причём нет рядом сидящих мальчиков и нет рядом сидящих девочек. Каждый ребёнок записал у себя на лбу положительное число. Учитель заметил, что число на лбу каждого мальчика равно произведению чисел на лбах двух рядом сидящих девочек, а число на лбу каждой девочки равно сумме чисел на лбах двух рядом сидящих мальчиков. Чему может равняться сумма всех 24 чисел?
комментарий/решение