9-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 6 класс, 2 тур

Задача №1. Расставьте в девяти квадратиках 9 различных цифр так, чтобы выполнялось равенство: $$\square \times \square \times\square\times\square+\square+\square+\square-\square-\square=2026.$$
комментарий/решение

---

Задача №2. Арман и Амир поделили между собой 100 карточек, пронумерованные натуральными числами от 1 до 100. Оказалось, что наибольший номер карточки Армана равно количеству его карточек, и сумма номеров его карточек равна 210. Карточку с каким наименьшим номером взял Амир?
комментарий/решение

---

Задача №3. На олимпиаде, в которой каждый участник может набрать целое неотрицательное число баллов, четыре ученика из одной школы набрали вместе 60 баллов. Они сделали по одному утверждению:
   первый: «Я набрал не меньше, чем суммарно остальные»,
   второй: «Я набрал не меньше половины от суммарного балла остальных»,
   третий: «Я набрал не меньше треть от суммарного балла остальных»,
   четвёртый: «Я набрал не меньше четверти от суммарного балла остальных».
   Известно, что один из них соврал, а остальные сказали правду. Кто из них мог соврать и какой наибольший балл мог набрать этот совравший ученик на самом деле?
комментарий/решение

---

Задача №4. Доску $100\times 100$ разрезали (без остатка) по линиям клеток на один квадрат и несколько фигурок формы в виде буквы «Т», состоящих из 4 клеток. Фигурки разрешается поворачивать и переворачивать. Найдите все возможные значения длины стороны вырезанного квадрата.
комментарий/решение

---

Задача №5. На доске написаны $n$ дробей: $\frac{1}{1}$, $\frac{1}{2}$, $\ldots$, $\frac{1}{n}$. Число $n$ назовём хорошим, если можно стереть ровно половину дробей так, что сумма оставшихся дробей будет целым числом.
   а) Является ли число $n=8$ хорошим?
   б) Является ли число $n=10$ хорошим?
комментарий/решение

---