9-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 2 тур

Есеп №1. Натурал $a$ және $b$ сандары үшін келесі теңдік орындалады: $$\frac{1}{a}+\frac{1}{2a}+\frac{1}{3a}=\frac{1}{4b}+\frac{1}{5b}+\frac{1}{6b}.$$ $a+b$ қосындысының ең кіші мәні қандай болуы мүмкін?
комментарий/решение

Есеп №2. Егер тек «2» цифрын, көбейту және азайту амалдарын пайдаланып, мәні $n$-ге тең өрнек құрастыруға болса, онда $n$ санын жақсы сан деп айтамыз. Кез келген натурал жұп сан жақсы сан екенін дәлелдеңіз. (2 цифрын шексіз көп қолдануға болады, бірақ оларды біріктіруге болмайды. Сондай-ақ жақшаларды, бөлу және қосу амалдарын қолдануға болмайды.)
комментарий/решение

Есеп №3. Суретте, $C$ төбесі $AB$ қабырғасында жатқан $E$ нүктесіне түсетіндей, тіктөртбұрышты $ABCD$ қағаз парағы түзу бойымен бүктелген. $\angle AEK$ бұрышының биссектрисасы $KL$ бүктеу сызығын $F$ нүктесінде қиып өтеді. $\angle ABF$ және $\angle EFK$ бұрыштарын табыңыз.

комментарий/решение

Есеп №4. $n\times n$ ($n \ge 2$) өлшемді тақта шахмат тәртібімен қара және ақ түстерге боялған (бұл жерде ақ ұяшықтар саны қара ұяшықтар санынан кем емес). Тақтаның әрбір ұяшығында бір бүтін сан жазылған. Әрбір жолдағы және әрбір бағандағы сандардың қосындысы жұп санға тең. Қара ұяшықтардағы барлық сандардың қосындысы да жұп болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение

Есеп №5. Мектепте 555 оқушы бар. Олардың кейбіреулері бірнеше мектеп үйірмелеріне қатысады (әр үйірмеде кемінде екі оқушы бар), ал кейбіреулері ешбір үйірмеге қатыспауы мүмкін. Мектеп директоры сауалнама жүргізді. Әр оқушы өзі қатысатын үйірмелердегі оқушылар санын қағазға жазып, сол сандардың ішіндегі ең үлкенін директорға айтады (егер үлкен сан бірнеше болса, кез келген ең үлкенін айтады); ал егер оқушы ешбір үйірмеге қатыспаса, онда ол 1 санын айтады. Сауалнамадан кейін барлық қыздар әртүрлі сандарды атағаны белгілі. Осы мектепте ең көп дегенде қанша қыз оқуы мүмкін? (Жауабыңызды негіздеуді және табылған жауапқа мысал келтіруді ұмытпаңыз.)
комментарий/решение