9-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 2 тур

Задача №1. Для натуральных чисел $a$ и $b$ выполнено равенство: $$\frac{1}{a}+\frac{1}{2a}+\frac{1}{3a}=\frac{1}{4b}+\frac{1}{5b}+\frac{1}{6b}.$$ Какое наименьшее значение может принимать сумма $a+b$?
комментарий/решение

Задача №2. Число $n$ называется хорошим, если используя только цифру «2», знак умножения и вычитания, можно составить выражение, значение которого равно $n$. Докажите, что любое натуральное чётное число является хорошим. (Цифру 2 можно использовать сколько угодно раз, но объединять в число нельзя. Также нельзя использовать скобки, знаки деления и сложения.)
комментарий/решение

Задача №3. На рисунке прямоугольный лист бумаги $ABCD$ согнули по прямой так, что его вершина $C$ совпала с точкой $E$, лежащей на стороне $AB$. Биссектриса угла $AEK$ пересекает линию сгиба $KL$ в точке $F$. Найдите $\angle ABF$ и $\angle EFK$.

комментарий/решение

Задача №4. На каждой клетке доски $n\times n$ ($n \ge 2$), раскрашенном в шахматном порядке в черный и белый цвета, написано по одному целому числу (в раскраске белых клеток не меньше, чем черных). Сумма чисел в любой строке и в любом столбце чётна. Докажите, что сумма чисел во всех чёрных клетках также чётна.
комментарий/решение

Задача №5. В школе обучаются 555 учеников. Некоторые из них посещают несколько школьных кружков (в каждый кружок ходит не менее двух учеников), а некоторые могут не посещать ни одного кружка. Директор этой школы провёл опрос. Каждый ученик на бумаге выписывает число детей в кружках, которые он посещает, и сообщает директору наибольшее из этих чисел (если таких несколько, то называет любое наибольшее); а если ученик не посещает ни одного кружка, то сообщает число 1. Известно, что все девочки назвали попарно различные числа. Какое наибольшее возможное количество девочек может быть в этой школе? (Не забудьте обосновать свой ответ и для найденного ответа привести пример.)
комментарий/решение