қазақша
русскийМатематикадан «Туймаада» олимпиадасы. Кіші лига. 2010 жыл
Есеп №1. Саша және Дима $100\times 100$ тақтасында ойын ойнап жатыр. Ойынның басында, Саша 50 тор көзін таңдап, олардың әрқайсысына бір корольдан қойып шығады. Кейін, Дима бос торлардың біреуін таңдап оған бір ладьяны қойды. Одан кейін, ойыншылар кезектесіп жүреді (Саша бастайды). Әрбір өзінің жүрісімен Саша корольдардың әрқайсысын оған қабырға бойынша немесе бұрыш бойынша көршілес орналасқан торларға ауыстырады, ал Дима әрбір өзінің жүрісімен ладьяны горизонталь немесе вертикаль бойынша кез келген торлар санына ауыстырады. Ладья корольден «секіре» алмайды жіне оны «ұра» алмайды. Саша ерте ме, кеш пе корольмен ладьяны ұра алатындай, жүрістер жасай ала ма?
(
С. Берлов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №2. $H$ нүктесі $ABC$ сүйірбұрышты үшбұрышының ортоцентрі. $BC$ қабырғасының бойынан $D$ нүктесі алынды. $ADPH$ параллелограмм болатындай $P$ нүктесі салынды. $\angle BPC > \angle BAC$ екенін дәлелдеңіз.
(
С. Берлов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №3. Үшмүшенің коэффициенттерінің орындарына осы сандарды кез келген орналасуда қойғанда, осы үшмүшеде бүтін түбір болатындай, үш нөлдік емес сандар бар. Осындай барлық үшмүшелерде бір түбір 1 екенін дәлелдеңіз.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №4. Тақтаға барлығы 2010 натурал сан жазылды. Кез келген $x$ және $y$ ($y > 1$) сандарын өшіріп, олардың орнына $2x+1$, $y-1$ немесе $2x+1$, $\dfrac{1}{4}(y-1)$ (егер $y-1$, 4-ке бөлінсе) сандарын жазуға болады. Мысалы, 3 және 5 сандарын өшіріп, олардың орнына 7 және 4 сандарын немесе 7, 1 ($x=3$, $y=5$ деп алып), немесе 11, 2 жұбын ($x=5$, $y=3$ деп алып) сандарын жазуға болады. Осындай амалдар бірнеше рет жасалды және ең алғашында 2006 және 2008 сандары өшірілді. Тақтада алғашқы сандар жинағы пайда болуы мүмкін емес екенін дәлелдеңіз.
(
М. Антипов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №5. $M$ нақты сандар жиынында, мүшелер саны бірден көп. $M$ жиынында жататын, кез келген $x$ үшін $3x-2$ және $-4x+5$ сандарының кем дегенде біреуі $M$ жиынында жататыны белгілі. $M$ жиыны шексіз екенін дәлелдеңіз.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №6. $n$ натурал саны берілсін. Ешқайсысы $n$-ге бөлінбейтін, алайда көбейтіндісі $n$-ге бөлінетін қатар келе жатқан 5 натурал сандар бар екені белгілі. Ешқайсысы $n$-ге бөлінбейтін, алайда көбейтіндісі $n$-ге бөлінетін қатар келе жатқан 4 натурал сандар бар екенін дәлелдеңіз.
(
С. Берлов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №7. $ABC$ үшбұрышы берілсін. Осы үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің центрі $I$ нүктесінен, $BC$ қабырғасына параллель және $A$ төбесінен өтетін түзуге, $IP$ перпендикуляры салынды. $BC$ қабырғасына параллель, іштей сызылған шеңберге түсірілген жанама, $AB$ және $AC$ қабырғаларын сәйкесінше $Q$ және $R$ нүктелерінде қияды. $\angle QPB=\angle RPC$ екенін дәлелдеңіз.
(
В. Смыкалов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №8. Мемлекетте кейбір қалалар арасында бір бағыттағы әуе жолдары бар, бірнеше қалалар бар. Барлық қалалар ішінен келесідей $A$ қалалар тобын белгілеуге болатынын дәлелдеңіз:
1) $A$ тобының қалаларының арасында ешқандай әуе жол жоқ;
2) $A$ тобына жатпайтын кез келген қаладан $A$ тобының кез келген қаласына тікелей жолмен немесе арасында орналасқан бір қала арқылы жетуге болады. ( В. Дольников )
комментарий/решение
1) $A$ тобының қалаларының арасында ешқандай әуе жол жоқ;
2) $A$ тобына жатпайтын кез келген қаладан $A$ тобының кез келген қаласына тікелей жолмен немесе арасында орналасқан бір қала арқылы жетуге болады. ( В. Дольников )
комментарий/решение