Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2010 год

Задача №1. Саша и Дима играют в игру на доске $100\times 100$. В начале игры Саша выбирает 50 клеток и ставит на них по одному королю. После этого Дима выбирает одну из свободных клеток и выставляет на нее ладью. Далее игроки ходят по очереди (начинает Саша). Каждым своим ходом Саша перемещает каждого из королей на соседнюю по стороне или углу клетку, а Дима своим ходом передвигает ладью на любое количество клеток по горизонтали или вертикали. При этом ладья не может "перепрыгивать" через короля и "бить" короля. Сможет ли Саша действовать так, чтобы рано или поздно побить ладью одним из королей? ( С. Берлов )
комментарий/решение

Задача №2. Точка $H$ — ортоцентр остроугольного треугольника $ABC$. На стороне $BC$ выбрана точка $D$. Точка $P$ построена таким образом, что $ADPH$ — параллелограмм. Докажите, что $\angle BPC > \angle BAC$. ( С. Берлов )
комментарий/решение

Задача №3. Три различных ненулевых числа таковы, что при любой расстановке этих чисел на места коэффициентов квадратного трехчлена этот трехчлен будет иметь целый корень. Докажите, что у всех таких трехчленов есть корень 1. ( А. Голованов )
комментарий/решение

Задача №4. На доске записаны 2010 натуральных чисел. Разрешается стереть любую пару чисел $x$, $y$ (в которой $y > 1$) и записать вместо них либо пару чисел $2x+1$, $y-1$, либо пару $2x+1$, ${1\over 4}(y-1)$ (если $y-1$ делится на 4). Например, стерев числа 3 и 5, можно написать пару 7 и 4, либо пару 7, 1 (приняв $x=3$, $y=5$), либо пару 11, 2 (приняв $x=5$, $y=3$). Такие операции провели несколько раз, причем при первой операции были стерты числа 2006 и 2008. Докажите, что на доске не сможет появиться вновь первоначальный набор чисел. ( М. Антипов )
комментарий/решение

Задача №5. Множество вещественных чисел $M$ содержит больше одного элемента. Известно, что для любого $x$, лежащего в $M$, хотя бы одно из чисел $3x-2$ и $-4x+5$ также лежит в $M$. Докажите, что множество $M$ бесконечно. ( А. Голованов )
комментарий/решение

Задача №6. Дано натуральное число $n$. Известно, что существуют такие пять последовательных натуральных чисел, что ни одно из них не делится на $n$, но их произведение кратно $n$. Докажите, что существуют такие четыре последовательных натуральных числа, что ни одно из них не делится на $n$, но их произведение кратно $n$. ( С. Берлов )
комментарий/решение

Задача №7. Дан треугольник $ABC$. Из центра $I$ его вписанной окружности опустили перпендикуляр $IP$ на прямую, проходящую через вершину $A$ и параллельную стороне $BC$. Касательная ко вписанной окружности, параллельная $BC$, пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $Q$ и $R$ соответственно. Докажите, что $\angle QPB=\angle RPC$. ( В. Смыкалов )
комментарий/решение

Задача №8. В стране несколько городов, между некоторыми городами курсируют прямые односторонние авиарейсы. Докажите, что можно выделить из всех городов такую группу $A$, что:
1) между городами группы $A$ нет ни одного рейса;
2) из любого города, не лежащего в группе $A$, можно попасть в какой-нибудь город группы $A$ либо прямым рейсом, либо с одной пересадкой в промежуточном городе. ( В. Дольников )
комментарий/решение