қазақша
русскийМатематикадан «Туймаада» олимпиадасы. Кіші лига. 2006 жыл
Есеп №1. $CD=CE$ болатындай, $ABC$ теңбүйірлі тікбұрышты үшбұрышының $AC$ және $BC$ катеттерінде $D$ және $E$ нүктелері алынды. $C$ және $D$ нүктелері арқылы өтетін, $AE$ түзуіне жүргізілген перпендикуляр $AB$ қабырғасын $B$ және $Q$ нүктелерінде қияды. $BP=PQ$ екенін дәлелдеңіз.
(
из материалов олимпиад
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №2. Әртүрлі 10 тақ, жай сандар берілсін. Кез-келген екеуінің он алтыншы дәрежелерінің айырмасы қалған сандардың кез-келгеніне бөлінуі мүмкін бе?
(
Ф. Петров,
К. Сухов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. Дөңес $n$ қабырғасы бар көпбұрыш берілсін ($n\ge 5$). Төбелері $n$ қабырғалы көпбұрыштың төбелерінде жататын, ауданы
1 болатын үшбұрыштардың саны $\dfrac{1}{3}n(2n-5)$ санынан артық емес екенін дәлелдеңіз.
(
A.Negut
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №4. $x$, $y$, $z$ теріс емес сандарының қосындысы 3-ке тең болса, келесі теңсіздікті дәлелдеңіз: $\dfrac{1}{{{x}^{2}}+y+z}+\dfrac{1}{x+{{y}^{2}}+z}+\dfrac{1}{x+y+{{z}^{2}}}\le 1$.
(
V.Ci.rtoaje
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №5. Әрбір нақты $x$ үшін $f(x)$, $g(x)$ және $h\left( x \right)$ сандары қандай да бір үшбұрыштың қабырғаларының ұзындықтары болатындай, ал $f\left( x \right)-1$, $g\left( x \right)-1$ және $h\left( x \right)-1$ сандары үшбұрыштың қабырғаларының ұзындықтары болмайтындай, $f$, $g$ және $h$ квадрат үшмүшелері табылады. $f+g-h$, $f+h-g$, $g+h-f$ үшмүшелерінің біреуі тұрақты екенін дәлелдеңіз.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №6. $A$ санының полиндромикалық бөлінуі деп, $A$ санының, ${{a}_{1}}={{a}_{n}}$, ${{a}_{2}}={{a}_{n-1}}$ және $1\le i\le n$ үшін, ${{a}_{i}}={{a}_{n+1-i}}$ болатындай, $A={{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\ldots+{{a}_{n-1}}+{{a}_{n}}(n\ge 1)$ натурал сандардың қосындысы түріндегі жазылуын атайық. Мысалы, $16=16$, $16=2+12+2$ және $16=7+1+1+7$, он алты санының палиндромикалық жіктелуі. 2006 санының барлық палиндромикалық жіктелулерінің санын табыңыз.
(
M. Capobianco
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №7. $ABC$ үшбұрышының $BM$ медианасы сырттай сызылған шеңберді $K$ нүктесінде қияды. $KMC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер $BC$ кесіндісін $P$ нүктесінде қияды, ал $AMK$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер $BA$ қабырғасының созындысын $Q$ нүктесінде қияды. $PQ > AC$ екенін дәлелдеңіз.
(
А. Смирнов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №8. $8\times 7$ картоннан жасалған торлы тіктөртбұрыштан, бірінші жолдын барлық торларынан және бірінші бағаннан тұратын бұрышты кесіп тастады (14 тордан тұратын). Шексіз торлы жазықтықтың торлары $k$ түрлі түске, картонды бұрыштың кез-келген орналасуында (айналдыру мен аударуды есептегенде) оның қамтып жатқан торлардың түстері әртүрлі болатындай боялды. $k$-ның қандай ең кіші мәнінде бұл мүмкін?
(
С. Берлов
)
комментарий/решение
комментарий/решение