қазақша
русскийОлимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2023 год
Есеп №1. Егер $a,b,c\in[0,1]$ сандары үшін келесі теңсіздікті дәлелдеңіз: $$(1-a)(1+a b)(1+a c)(1-a b c)\le(1+a)(1-a b)(1-a c)(1+a b c).$$
(
G. Raposo
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. Серёжа мен Таня Машаға мынадай фокус көрсетпекші. Серёжа бөлмеден шығып кетеді. Маша $a_1,a_2,\ldots,a_n$ тізбегін жазады, мұнда әр $a_k$ саны 0 немесе 1-ге тең. Сосын Таня $b_1,b_2,\ldots,b_n$ де 0 немесе 1-ден құралған тізбек жазады. Осыдан кейін Маша не ештеңе істемейді, не «Мутабор!» деп айтып, екі тізбекті де ауыстырады: өзінікін — кері ретпен $a_n,a_{n-1},\ldots,a_1$, ал Таняның тізбегін — $1-b_n,1-b_{n-1},\ldots,1-b_1$. Маша өз тізбегін майлықпен жабады, Серёжа қайта кіреді. Серёжа Таняның тізбегіне қарап, майлықтың астындағы тізбекті атауы тиіс. Қай $n$ үшін Серёжа мен Таня алдын ала дайындалып, мұндай фокусты көрсете алады? Серёжа «Мутабор» жасалды ма, соны анықтауға міндетті емес.
(
А. Антропов,
Т. Гизатуллин
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №3. $ABC$ үшбұрышы ішінде $L$ нүктесі үшін $CL=AB$ және $\angle BAC+\angle BLC=180^\circ$ теңдіктері орындалады. $BC$ түзуіне параллель және $L$ нүктесі арқылы өтетін түзу $AC$ қабырғасын $K$ нүктесінде қиып өтеді. $AB=BK$ екенін дәлелдеңіз.
(
А. Антропов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. Екі адам ойын ойнайды. $n>2$ үйір бар, әрқайсысында $n^{10}+1$ тас жатыр. Бір жүрісте барлық үйірді алып тастап, тек біреуін қалдырып, оны $n$ бос емес үйірге бөлуге болады. Жүріс жасай алмай қалған ойыншы жеңіледі. Дұрыс ойында кім жеңеді — бірінші ойыншы ма, әлде қарсыласы ма?
(
K. Sakai,
M. Shinoda,
K. Suetsugu,
T. Abuku
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №5. Графта $p$ төбе бар, олар 1-ден $p$-ке дейін нөмірленген, және $q$ қыры бар, олар $p+1$-ден $p+q$-ге дейін нөмірленген. Кез келген қыр үшін оның ұштарының нөмірлерінің қосындысы мен қырдың нөмірінің қосындысы тұрақты $s$ санына тең екені белгілі. Сондай-ақ, әр төбеден бірдей санды қыр шығады. $s=\frac{1}{2}(4p+q+3)$ екенін дәлелдеңіз.
(
R. Figueroa-Centeno,
R. Ichishima,
F. Muntaner-Batle
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №6. Евклид қадамы $(a,b)$ жұбын $(b,r)$ жұбына ауыстырады, мұнда $r$ — $a$-ны $b$-ге бөлгендегі қалдық. $(a,b)$ жұбының күрделілігі деп оны $(s,0)$ түріндегі жұпқа келтіру үшін қажет Евклид қадамдарының санын айтайық. Егер $ad-bc=1$ болса, онда $(a,b)$ және $(c,d)$ жұптарының күрделілігі 2-ден артық емес екенін дәлелдеңіз.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №7. Шеңбер бойында $3n$ адам тұр — $n$ отбасы, әрқайсысы «ана-әке-бала». Қатар тұрған екі адам орын ауыстыра алады, бірақ бала ата-анасының біреуімен орын ауыстыра алмайды (ол рұқсат етілмейді). Қандай $n$ үшін мұндай орын ауыстырулар арқылы адамдарды шеңбер бойында кез келген ретпен орналастыруға болады? (Циклдік ығысуымен ерекшеленетін реттіліктер әртүрлі деп есептеледі.)
(
К. Кохась
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №8. $\omega$ шеңбері $\Omega$ шеңберінің ішінде орналасқан және оны $P$ нүктесінде іштей жанайды. $\omega$ шеңберінде $S$ нүктесі алынып, сол нүкте арқылы $\omega$-ға жанама жүргізіледі. Бұл жанама $\Omega$ шеңберін $A$ және $B$ нүктелерінде қияды. $I$ — $\omega$ шеңберінің центрі. $AIB$ үшбұрышының шеңберлерінің центрлерінің геометриялық орны қандай екенін табыңыз.
(
П. Кожевников,
А. Заславский
)
комментарий/решение
комментарий/решение