қазақша
русскийОлимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2023 год
Задача №1. Докажите, что при $a, b, c \in[0,1]$ выполняется неравенство $(1-a)(1+a b)(1+a c)(1-a b c) \leqslant(1+a)(1-a b)(1-a c)(1+a b c)$.
(
G. Raposo
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Серёжа и Таня собираются показать Маше следующий фокус. Серёжа выходит из комнаты. Маша выписывает последовательность $\left(a_1, a_2, \ldots, a_n\right)$, где все $a_k$ равны 0 или 1. После этого Таня выписывает последовательность $\left(b_1, b_2, \ldots, b_n\right)$, где все $b_k$ тоже равны 0 или 1. Далее Маша либо ничего на делает, либо говорит «Мутабор!» и заменяет обе последовательности: свою — на последовательность $\left(a_n, a_{n-1}, \ldots, a_1\right)$, а последовательность Тани — на $(1-b_n, 1-b_{n-1}, \ldots, 1-b_1).$ Последовательность Маши закрывают салфеткой, а в комнату приглашают Серёжу. Серёжа, посмотрев на последовательность Тани, должен назвать последовательность, закрытую салфеткой. Для каких $n$ Серёжа и Таня, подготовившись заранее, смогут показать такой фокус? От Серёжи не требуется определять, была ли проведена операция «Мутабор».
(
А. Антропов,
Т. Гизатуллин
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №3. Внутри треугольника $A B C$ нашлась такая точка $L$, что $C L=A B$ и $\angle B A C+\angle B L C=180^{\circ}$. Прямая, параллельная прямой $B C$ и проходящая через точку $L$, пересекает сторону $A C$ в точке $K$. Докажите, что $A B=B K$.
(
А. Антропов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Два человека играют в игру. Имеется $n>2$ куч, в каждой из которых лежит $n^{10}+1$ камней. За один ход можно убрать все кучи, кроме одной, а оставшуюся кучу разделить на $n$ непустых куч. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет при правильной игре — начинающий или его противник?
(
K. Sakai,
M. Shinoda,
K. Suetsugu,
T. Abuku
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №5. В графе $p$ вершин, пронумерованных числами от 1 до $p$, и $q$ рёбер, пронумерованных числами от $p+1$ до $p+q$. Оказалось, что для любого ребра сумма номеров концов этого ребра и номера самого ребра равна одному и тому же числу $s$. Еще известно, что из всех вершин выходит одно и то же число ребер. Докажите, что $s=\frac{1}{2}(4 p+q+3)$.
(
R. Figueroa-Centeno,
R. Ichishima,
F. Muntaner-Batle
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №6. Евклидов шаг переводит пару натуральных чисел $(a, b),$ в которой $a>b$, в пару $(b, r)$, где $r$ — остаток от деления $a$ на $b$. Назовём сложностью пары $(a, b)$ количество евклидовых шагов, требующихся, чтобы перевести её в пару вида $(s, 0)$. Докажите, что если $a d-b c=1$, то сложности пар $(a, b)$ и $(c, d)$ отличаются не более чем на 2.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №7. По кругу стоит $3 n$ человек — это $n$ семей «мама-папа-ребенок». Любые два человека, стоящие рядом, могут поменяться местами, кроме случая, когда ребёнок меняется местом с одним из своих родителей (это не разрешено). При каких $n$ с помощью таких обменов людей можно расставить по кругу в любом порядке? (Перестановки, отличающиеся циклическим сдвигом, считаются различными.)
(
К. Кохась
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №8. Окружность $\omega$ расположена внутри окружности $\Omega$ и касается её внутренним образом в точке $P$. На окружности $\omega$ выбирают точку $S$ и проводят через нее касательную к $\omega$. Эта касательная пересекает окружность $\Omega$ в точках $A$ и $B$. Пусть $I$ — центр $\omega$. Найдите ГМТ центров окружностей, описанных около треугольников $A I B$.
(
П. Кожевников,
А. Заславский
)
комментарий/решение
комментарий/решение