қазақша
русский9-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 6-7 класс, 3 (командный) тур
Задача №1. Усейн и Болт соревнуются в беге по круговой дорожке. Усейн бежит со скоростью $8{,}8$ м/с, а Болт — со скоростью $7{,}7$ м/с. Их соревнование длилось $22$ минуты, и Болт проиграл Усейну $4$ круга. Найдите длину круга.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №2. Разрежьте фигуру на рисунке, составленную из 20 единичных квадратиков, на несколько частей, и сложите из них квадрат. (Нужно использовать все части без наложений и без пустых пространств.)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №3. Можно ли в клетки таблицы $4 \times 5$ вписать числа от 1 до 20 так, чтобы произведение чисел в каждом квадрате $2 \times 2$, состоящем из четырех клеток таблицы, делилось на 80?
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №4. Дан куб размера $n \times n \times n$, составленный из $n^3$ единичных кубиков. Прямую назовём протыкающей, если она проходит через центры $n$ единичных кубиков. Сколько всего имеется протыкающих прямых?
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №5. Докажите, что если для положительных чисел $a, b$ выполнено неравенство $ab+1\ge a+b$, то и выполнено неравенство $a^2b^2+1\ge a^2+b^2$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. Окружность с центром $I$ находится внутри выпуклого четырехугольника $ABCD$ и касается всех его сторон. Докажите, что если $\angle AIB > 90^\circ$, то $\angle CID < 90^\circ$.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №7. Натуральные числа $a$, $b$, $c$, $d$ удовлетворяют равенству $a^2+b^2+ab=cd$. Может ли число $a^2+b^2+c^2+d^2$ быть простым?
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №8. В ряд выписано $n \geq 5$ действительных чисел. Оказалась, что сумма любых трёх подряд идущих чисел положительна, а сумма любых пяти подряд идущих чисел — отрицательна. Найдите наибольшее возможное значение $n$.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №9. На стороне $AB$ треугольника $ABC$ отмечена точка $K$, а на отрезке $KB$ — точка $L$ так, что $\angle ACK=\angle KCL=\angle LCB$. Докажите, что если $AC < BC$, то $KC < LC$.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №10. В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ проведена высота $CH$. Пусть $I$, $I_1$ и $I_2$ центры вписанных окружностей треугольников $ABC$, $ACH$ и $BCH$ соответственно. Докажите, что $CI\perp I_1I_2$.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №11. В клетчатой таблице размера $11\times 11$ ровно 67 клеток покрашены черный цвет. Докажите, что в этой таблице можно выделить квадрат размера $2\times 2$, в котором покрашены в черный цвет не менее 3 клетки.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №12. На доске выписано $n \geqslant 2$ цифр (среди которых есть по крайней мере одна ненулевая; и цифры не обязательно различны). В тетрадь записали сумму всех попарных произведений этих цифр. Может ли Абулмансур составить из всех выписанных на доске цифр натуральное число, которое в точности равно числу, записанному в тетради?
(
Хакимгали А.
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №13. Внутри правильного треугольника $ABC$ отмечена точка $O$ так, что $\angle AOB=150^\circ$. Докажите, что из отрезков $AO$, $BO$, $CO$ можно сложить прямоугольный треугольник.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №14. На доске записано $n$ чисел (здесь $n\ge 2$). Известно, что если на доске есть числа $x$ и $y$ (не обязательно различные), то на доске есть и число ${(x-y)^2}$. Найдите все записанные $n$ чисел.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №15. Перед олимпиадой 80 участников начали записываться на экскурсии. Известно, что, на каждую экскурсию записалось ровно 3 ученика; и для любых двух различных экскурсий число детей, записавшихся в обе, не больше одного. Докажите, что среди всех участников можно выделить 13 таких детей, что никакие трое из них не записались вместе на одну и ту же экскурсию.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №16. Для целого числа $n \ge 3$ последовательность целых чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$ называется красивой, если она удовлетворяет всем следующим условиям:
1) $0 = a_1 < a_2 < \dots < a_n$;
2) Существует целое число $i$ с $1 \le i \le n$ такое, что $a_i = 2025$;
3) Для всех целых чисел $i, j, k$ с $1 \le i < j < k \le n$ выполнено $\frac{a_i + a_k}{2} \le a_j.$
Пусть $N$ — максимально возможная длина красивой последовательности. Для красивой последовательности длины $N$ определите минимально возможное значение $a_N$.
комментарий/решение
1) $0 = a_1 < a_2 < \dots < a_n$;
2) Существует целое число $i$ с $1 \le i \le n$ такое, что $a_i = 2025$;
3) Для всех целых чисел $i, j, k$ с $1 \le i < j < k \le n$ выполнено $\frac{a_i + a_k}{2} \le a_j.$
Пусть $N$ — максимально возможная длина красивой последовательности. Для красивой последовательности длины $N$ определите минимально возможное значение $a_N$.
комментарий/решение