қазақша
русский9-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 6-7 класс, 3 (командный) тур
Есеп №1. Усейн мен Болт шеңбер бойымен жүгіруден жарысуда. Усейннің жылдамдығы $8{,}8$ м/с, ал Болттың жылдамдығы $7{,}7$ м/с. Жарыс $22$ минутқа созылды, әрі Болт Усейннен $4$ айналымға қалып қойды. Шеңбер ұзындығын табыңыз.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №2. Суретте берілген, $20$ бірлік шаршыдан құралған фигураны бірнеше бөлікке бөліп, сол бөліктерден шаршы құрастырыңыз. (Барлық бөліктер қолданылуы керек, олар бірінің үстіне бірі түспеуі және бос орын қалмауы тиіс.)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №3. $4\times 5$ кестесінің ұяшықтарына $1$-ден $20$-ға дейінгі сандарды, кез келген $2\times 2$ шаршыдағы төрт санның көбейтіндісі $80$-ге бөлінетіндей етіп, орналастыруға бола ма болады ма?
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №4. $n^3$ бірлік кубтан құралған өлшемі $n\times n\times n$ болатын үлкен куб берілген. Егер түзу $n$ бірлік кубтың центрлері арқылы өтсе, оны тесіп өтуші түзу деп атайық. Барлығы неше тесіп өтуші түзу бар?
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №5. Оң $a$ және $b$ сандары үшін $a b+1\ge a+b$ теңсіздігі орындалатыны белгілі. Онда $a^2b^2+1\ge a^2+b^2$ теңсіздігінің де орындалатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. Центрі $I$ болатын шеңбер дөңес $ABCD$ төртбұрышының ішінде орналасқан және оның барлық қабырғаларын жанайды. Егер $\angle AIB>90^\circ$ болса, онда $\angle CID<90^\circ$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №7. Натурал $a$, $b$, $c$, $d$ сандары $a^2+b^2+ab=cd$ теңдігін қанағаттандырады. $a^2+b^2+c^2+d^2$ саны жай сан болуы мүмкін бе?
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №8. Бір қатарға $n$ нақты сан жазылған (бұл жерде $n\ge 5$). Кез келген қатар тұрған үш санның қосындысы оң, ал кез келген қатар тұрған бес санның қосындысы теріс екені белгілі. $n$ санының мүмкін болатын ең үлкен мәнін табыңыз.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №9. $ABC$ үшбұрышының $AB$ қабырғасында $K$ нүктесі, ал $KB$ кесіндісінде $L$ нүктесі $\angle ACK=\angle KCL=\angle LCB$ болатындай белгіленген. Егер $AC
Есеп №10. $ABC$ үшбұрышында ($\angle C=90^\circ$) $CH$ биіктігі жүргізілген. $I$, $I_1$ және $I_2$ сәйкесінше $ABC$, $ACH$ және $BCH$ үшбұрыштарына іштей сызылған шеңберлер центрлері. $CI\perp I_1I_2$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №11. Өлшемі $11\times 11$ болатын торкөз кестеде дәл $67$ ұяшық қара түске боялған. Осы кестеде қара түске боялған кемінде $3$ ұяшығы боялған $2\times 2$ шаршы бар екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №12. Тақтаға $n\ge 2$ цифр жазылған (олардың арасында кемінде бір нөлден өзге цифр бар, әрі цифрлар міндетті түрде әртүрлі емес). Дәптерге осы цифрлардың барлық жұптарын алып, әр жұптағы екі цифрдың көбейтінділерінің қосындысы жазылды. Абулмансур тақтадағы барлық цифрларды пайдаланып, дәптерде жазылған санға дәл тең болатын натурал сан құрастыра ала ма?
(
Хакимгали А.
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №13. Дұрыс $ABC$ үшбұрышының ішінде $O$ нүктесі $\angle AOB=150^\circ$ болатындай белгіленген. $AO$, $BO$, $CO$ кесінділерінен тікбұрышты үшбұрыш құрастыруға болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №14. Тақтаға $n$ сан жазылған ($n\ge 2$). Егер тақтада $x$ және $y$ сандары болса (олар әртүрлі болуы міндетті емес), онда тақтада $(x-y)^2$ саны да бар екені белгілі. Тақтаға жазылған барлық $n$ санды табыңыз.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №15. Олимпиада алдында $80$ қатысушы экскурсияларға жазыла бастады. Әр экскурсияға дәл $3$ оқушыдан жазылған және кез келген екі түрлі экскурсияға бірге жазылған балалар саны $1$-ден аспайды. Барлық қатысушылардың ішінен бір экскурсияға үшеуі бірге жазылмаған $13$ баланы таңдап алуға болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №16. $n\ge 3$ бүтін саны үшін $a_1,a_2,\ldots,a_n$ бүтін сандар тізбегі әдемі деп аталады, егер келесі шарттардың барлығы орындалса:
1) $0=a_1 < a_2 < \dots < a_n$;
2) $1\le i\le n$ болатын қандай да бір бүтін $i$ үшін $a_i=2025$;
3) $1\le i < j < k\le n$ болатын барлық бүтін $i,j,k$ үшін $\dfrac{a_i+a_k}{2}\le a_j$.
$N$ — әдемі тізбектің мүмкін болатын ең үлкен ұзындығы болсын. Ұзындығы $N$ болатын әдемі тізбек үшін $a_N$ санының мүмкін болатын ең кіші мәнін табыңыз.
комментарий/решение
1) $0=a_1 < a_2 < \dots < a_n$;
2) $1\le i\le n$ болатын қандай да бір бүтін $i$ үшін $a_i=2025$;
3) $1\le i < j < k\le n$ болатын барлық бүтін $i,j,k$ үшін $\dfrac{a_i+a_k}{2}\le a_j$.
$N$ — әдемі тізбектің мүмкін болатын ең үлкен ұзындығы болсын. Ұзындығы $N$ болатын әдемі тізбек үшін $a_N$ санының мүмкін болатын ең кіші мәнін табыңыз.
комментарий/решение